Calcolo Esempi

$x \arctan (x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \arctan (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2

La derivata di $\arctan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$x \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 3.1

$x$ e $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \cdot 1$

Passaggio 3.3

Moltiplica $\arctan (x)$ per $1$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \arctan (x)$

Passaggio 4

Per scrivere $\arctan (x)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{x}{1 + x^{2}} + \frac{\arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x + \arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x + \arctan (x) \cdot 1 + \arctan (x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica $\arctan (x)$ per $1$ .

$\frac{x + \arctan (x) + \arctan (x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Riordina i fattori in $x + \arctan (x) + \arctan (x) x^{2}$ .

$\frac{x + \arctan (x) + x^{2} \arctan (x)}{1 + x^{2}}$

Passaggio 6.3

Riordina i termini.

$\frac{x^{2} \arctan (x) + x + \arctan (x)}{x^{2} + 1}$