Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (\frac{2 x}{x + 3})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{2 x}{x + 3}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{2 x}{x + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{2 x}{x + 3}$ .

$\frac{1}{\frac{2 x}{x + 3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

Passaggio 2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{2 x}{x + 3}$ .

$1 \frac{x + 3}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{x + 3}{2 x}$ per $1$ .

$\frac{x + 3}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + 3}]$

Passaggio 3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2 x}{x + 3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$ .

$\frac{x + 3}{2 x} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}])$

Passaggio 3.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.3.1

$2$ e $\frac{x + 3}{2 x}$ .

$\frac{2 (x + 3)}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x + 3)}{2 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Passaggio 3.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x + 3}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 3}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x + 3$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{(x + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{(x + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $x + 3$ per $1$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x \frac{d}{d x} [x + 3]}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x (1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x (1 + 0)}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.6

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x \cdot 1}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{x + 3 - x}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.6.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{0 + 3}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.6.4

Somma $0$ e $3$ .

$\frac{x + 3}{x} \cdot \frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.6.5

Moltiplica $\frac{x + 3}{x}$ per $\frac{3}{{(x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{x {(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.6.6

Sposta $3$ alla sinistra di $x + 3$ .

$\frac{3 \cdot (x + 3)}{x {(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.6.7

Elimina il fattore comune di $x + 3$ e ${(x + 3)}^{2}$ .

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Passaggio 5.6.7.1

Scomponi $x + 3$ da $3 (x + 3)$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{x {(x + 3)}^{2}}$

Passaggio 5.6.7.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.6.7.2.1

Scomponi $x + 3$ da $x {(x + 3)}^{2}$ .

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{(x + 3) (x (x + 3))}$

Passaggio 5.6.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 3) \cdot 3}{(x + 3) (x (x + 3))}$

Passaggio 5.6.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{x (x + 3)}$