Calcolo Esempi

$\ln (\frac{6 - x}{6 + x})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{6 - x}{6 + x}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{6 - x}{6 + x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{6 - x}{6 + x}$ .

$\frac{1}{\frac{6 - x}{6 + x}} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

Passaggio 2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{6 - x}{6 + x}$ .

$1 \frac{6 + x}{6 - x} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{6 + x}{6 - x}$ per $1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \frac{d}{d x} [\frac{6 - x}{6 + x}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 6 - x$ e $g (x) = 6 + x$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) \frac{d}{d x} [6 - x] - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) \frac{d}{d x} [- x] - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Passaggio 5.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (- \frac{d}{d x} [x]) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Passaggio 5.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) (- 1 \cdot 1) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Passaggio 5.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{(6 + x) \cdot - 1 - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Passaggio 5.6.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $6 + x$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- 1 \cdot (6 + x) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Passaggio 5.6.3

Riscrivi $- 1 (6 + x)$ come $- (6 + x)$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) \frac{d}{d x} [6 + x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Passaggio 5.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [x])}{{(6 + x)}^{2}}$

Passaggio 5.8

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(6 + x)}^{2}}$

Passaggio 5.9

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) \frac{d}{d x} [x]}{{(6 + x)}^{2}}$

Passaggio 5.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x) \cdot 1}{{(6 + x)}^{2}}$

Passaggio 5.11

Riduci le frazioni.

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Passaggio 5.11.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{6 + x}{6 - x} \cdot \frac{- (6 + x) - (6 - x)}{{(6 + x)}^{2}}$

Passaggio 5.11.2

Moltiplica $\frac{6 + x}{6 - x}$ per $\frac{- (6 + x) - (6 - x)}{{(6 + x)}^{2}}$ .

$\frac{(6 + x) (- (6 + x) - (6 - x))}{(6 - x) {(6 + x)}^{2}}$

Passaggio 6

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 6.1

Scomponi $6 + x$ da $(6 - x) {(6 + x)}^{2}$ .

$\frac{(6 + x) (- (6 + x) - (6 - x))}{(6 + x) ((6 - x) (6 + x))}$

Passaggio 6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(6 + x) (- (6 + x) - (6 - x))}{(6 + x) ((6 - x) (6 + x))}$

Passaggio 6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- (6 + x) - (6 - x)}{(6 - x) (6 + x)}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 1 \cdot 6 - x - (6 - x)}{(6 - x) (6 + x)}$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 1 \cdot 6 - x - 1 \cdot 6 - - x}{(6 - x) (6 + x)}$

Passaggio 7.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.3.1.1

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{- 6 - x - 1 \cdot 6 - - x}{(6 - x) (6 + x)}$

Passaggio 7.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{- 6 - x - 6 - - x}{(6 - x) (6 + x)}$

Passaggio 7.3.1.3

Moltiplica $- - x$ .

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Passaggio 7.3.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- 6 - x - 6 + 1 x}{(6 - x) (6 + x)}$

Passaggio 7.3.1.3.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{- 6 - x - 6 + x}{(6 - x) (6 + x)}$

Passaggio 7.3.2

Combina i termini opposti in $- 6 - x - 6 + x$ .

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Passaggio 7.3.2.1

Somma $- x$ e $x$ .

$\frac{- 6 + 0 - 6}{(6 - x) (6 + x)}$

Passaggio 7.3.2.2

Somma $- 6$ e $0$ .

$\frac{- 6 - 6}{(6 - x) (6 + x)}$

Passaggio 7.3.3

Sottrai $6$ da $- 6$ .

$\frac{- 12}{(6 - x) (6 + x)}$

Passaggio 7.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{12}{(6 - x) (6 + x)}$