Calcolo Esempi

$y = {(x^{5} \ln (x))}^{6}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = x^{5} \ln (x)$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{5} \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{5} \ln (x)$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} \frac{d}{d x} [x^{5} \ln (x)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 4.1

$x^{5}$ e $\frac{1}{x}$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $x^{5}$ e $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Scomponi $x$ da $x^{5}$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 4.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 4.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 4.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 4.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 4.2.2.5

Dividi $x^{4}$ per $1$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (x^{4} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$6 {(x^{5} \ln (x))}^{5} (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}))$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la regola del prodotto a $x^{5} \ln (x)$ .

$6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (x^{4} + \ln (x) (5 x^{4}))$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) x^{4} + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Passaggio 5.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{5}$ .

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Passaggio 5.3.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 (x^{5 \cdot 5} \ln^{5} (x)) x^{4} + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Passaggio 5.3.1.2

Moltiplica $5$ per $5$ .

$6 (x^{25} \ln^{5} (x)) x^{4} + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $x^{25}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.3.2.1

Sposta $x^{4}$ .

$6 (x^{4} x^{25}) \ln^{5} (x) + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Passaggio 5.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 x^{4 + 25} \ln^{5} (x) + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Passaggio 5.3.2.3

Somma $4$ e $25$ .

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 6 ({(x^{5})}^{5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{5}$ .

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Passaggio 5.3.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 6 (x^{5 \cdot 5} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Passaggio 5.3.3.2

Moltiplica $5$ per $5$ .

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 6 (x^{25} \ln^{5} (x)) (\ln (x) (5 x^{4}))$

Passaggio 5.3.4

Moltiplica $5$ per $6$ .

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{25} \ln^{5} (x) (\ln (x) (x^{4}))$

Passaggio 5.3.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{4 + 25} \ln^{5} (x) \ln (x)$

Passaggio 5.3.6

Somma $4$ e $25$ .

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{29} \ln^{5} (x) \ln (x)$

Passaggio 5.3.7

Eleva $\ln (x)$ alla potenza di $1$ .

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{29} (\ln^{1} (x) \ln^{5} (x))$

Passaggio 5.3.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{29} {\ln (x)}^{1 + 5}$

Passaggio 5.3.9

Somma $1$ e $5$ .

$6 x^{29} \ln^{5} (x) + 30 x^{29} \ln^{6} (x)$