Calcolo Esempi

$y = {(3 x^{4} + 1)}^{4} (x^{3} + 4)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(3 x^{4} + 1)}^{4}$ e $g (x) = x^{3} + 4$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4] + (x^{3} + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 1)}^{4}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{3} + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 1)}^{4}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]) + (x^{3} + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 1)}^{4}]$

Passaggio 2.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{4} (3 x^{2} + 0) + (x^{3} + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 1)}^{4}]$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.4.1

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{4} (3 x^{2}) + (x^{3} + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 1)}^{4}]$

Passaggio 2.4.2

Sposta $3$ alla sinistra di ${(3 x^{4} + 1)}^{4}$ .

$3 \cdot {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + (x^{3} + 4) \frac{d}{d x} [{(3 x^{4} + 1)}^{4}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 3 x^{4} + 1$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x^{4} + 1$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + (x^{3} + 4) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 1])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + (x^{3} + 4) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 1])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x^{4} + 1$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + (x^{3} + 4) (4 {(3 x^{4} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 1])$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{3} + 4$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 4 \cdot (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x^{4} + 1]$

Passaggio 4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 4 (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 4 (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 4 (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.5

Moltiplica $4$ per $3$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 4 (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 4.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 4 (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} (12 x^{3} + 0)$

Passaggio 4.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.7.1

Somma $12 x^{3}$ e $0$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 4 (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} (12 x^{3})$

Passaggio 4.7.2

Moltiplica $12$ per $4$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + 48 (x^{3} + 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{3}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + (48 x^{3} + 48 \cdot 4) {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{3}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $48$ per $4$ .

$3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + (48 x^{3} + 192) {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{3}$

Passaggio 5.3

Scomponi ${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2}$ da $3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2} + (48 x^{3} + 192) {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{3}$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi ${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2}$ da $3 {(3 x^{4} + 1)}^{4} x^{2}$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2} (3 (3 x^{4} + 1)) + (48 x^{3} + 192) {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{3}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi ${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2}$ da $(48 x^{3} + 192) {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{3}$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2} (3 (3 x^{4} + 1)) + {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2} ((48 x^{3} + 192) x)$

Passaggio 5.3.3

Scomponi ${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2}$ da ${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2} (3 (3 x^{4} + 1)) + {(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2} ((48 x^{3} + 192) x)$ .

${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2} (3 (3 x^{4} + 1) + (48 x^{3} + 192) x)$

Passaggio 5.4

Riordina i fattori di ${(3 x^{4} + 1)}^{3} x^{2} (3 (3 x^{4} + 1) + (48 x^{3} + 192) x)$ .

$x^{2} {(3 x^{4} + 1)}^{3} (3 (3 x^{4} + 1) + (48 x^{3} + 192) x)$