Calcolo Esempi

$y = \frac{x^{2}}{5 x^{6} - 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 5 x^{6} - 1$ .

$\frac{(5 x^{6} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{6} - 1]}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(5 x^{6} - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{6} - 1]}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $5 x^{6} - 1$ .

$\frac{2 \cdot (5 x^{6} - 1) x - x^{2} \frac{d}{d x} [5 x^{6} - 1]}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{6} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [5 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{6}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (5 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (5 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Moltiplica $6$ per $5$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (30 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (30 x^{5} + 0)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.8.1

Somma $30 x^{5}$ e $0$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - x^{2} (30 x^{5})}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2

Moltiplica $30$ per $- 1$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - 30 x^{2} x^{5}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{5}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.1

Sposta $x^{5}$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - 30 (x^{5} x^{2})}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - 30 x^{5 + 2}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Somma $5$ e $2$ .

$\frac{2 (5 x^{6} - 1) x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 (5 x^{6}) + 2 \cdot - 1) x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (5 x^{6}) x + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1.1

Moltiplica $x^{6}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (5 (x \cdot x^{6})) + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{6}$ .

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Passaggio 4.3.1.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (5 (x^{1} x^{6})) + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 (5 x^{1 + 6}) + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.1.3

Somma $1$ e $6$ .

$\frac{2 (5 x^{7}) + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{10 x^{7} + 2 \cdot - 1 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{10 x^{7} - 2 x - 30 x^{7}}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $30 x^{7}$ da $10 x^{7}$ .

$\frac{- 20 x^{7} - 2 x}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4

Scomponi $2 x$ da $- 20 x^{7} - 2 x$ .

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Passaggio 4.4.1

Scomponi $2 x$ da $- 20 x^{7}$ .

$\frac{2 x (- 10 x^{6}) - 2 x}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4.2

Scomponi $2 x$ da $- 2 x$ .

$\frac{2 x (- 10 x^{6}) + 2 x (- 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.4.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (- 10 x^{6}) + 2 x (- 1)$ .

$\frac{2 x (- 10 x^{6} - 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.5

Scomponi $- 1$ da $- 10 x^{6}$ .

$\frac{2 x (- (10 x^{6}) - 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.6

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{2 x (- (10 x^{6}) - 1 (1))}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.7

Scomponi $- 1$ da $- (10 x^{6}) - 1 (1)$ .

$\frac{2 x (- (10 x^{6} + 1))}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.8

Riscrivi $- (10 x^{6} + 1)$ come $- 1 (10 x^{6} + 1)$ .

$\frac{2 x (- 1 (10 x^{6} + 1))}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(2 x) (10 x^{6} + 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$

Passaggio 4.10

Riordina i fattori in $- \frac{(2 x) (10 x^{6} + 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x (10 x^{6} + 1)}{{(5 x^{6} - 1)}^{2}}$