Calcolo Esempi

$y = {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{4}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(x^{4} + 2)}^{2}$ e $g (x) = {(x^{3} + 4)}^{4}$ .

${(x^{4} + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 4)}^{4}] + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{3} + 4$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{3} + 4$ .

${(x^{4} + 2)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]) + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

${(x^{4} + 2)}^{2} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]) + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{3} + 4$ .

${(x^{4} + 2)}^{2} (4 {(x^{3} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4]) + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Sposta $4$ alla sinistra di ${(x^{4} + 2)}^{2}$ .

$4 \cdot {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4] + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$4 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]) + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]) + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Passaggio 3.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} (3 x^{2} + 0) + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Passaggio 3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.5.1

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$4 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} (3 x^{2}) + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + {(x^{3} + 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 2)}^{2}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{4} + 2$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{4} + 2$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + {(x^{3} + 4)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 2])$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + {(x^{3} + 4)}^{4} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 2])$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{4} + 2$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + {(x^{3} + 4)}^{4} (2 (x^{4} + 2) \frac{d}{d x} [x^{4} + 2])$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x^{3} + 4)}^{4}$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + 2 \cdot {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) \frac{d}{d x} [x^{4} + 2]$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + 2 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 5.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + 2 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 5.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + 2 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) (4 x^{3} + 0)$

Passaggio 5.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.5.1

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + 2 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) (4 x^{3})$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + 8 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) x^{3}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Scomponi $4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2}$ da $12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} + 8 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) x^{3}$ .

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Passaggio 6.1.1

Scomponi $4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2}$ da $12 {(x^{4} + 2)}^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2}$ .

$4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} (3 (x^{4} + 2)) + 8 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) x^{3}$

Passaggio 6.1.2

Scomponi $4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2}$ da $8 {(x^{3} + 4)}^{4} (x^{4} + 2) x^{3}$ .

$4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} (3 (x^{4} + 2)) + 4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} (2 (x^{3} + 4) x)$

Passaggio 6.1.3

Scomponi $4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2}$ da $4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} (3 (x^{4} + 2)) + 4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} (2 (x^{3} + 4) x)$ .

$4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} (3 (x^{4} + 2) + 2 (x^{3} + 4) x)$

Passaggio 6.2

Riordina i fattori di $4 (x^{4} + 2) {(x^{3} + 4)}^{3} x^{2} (3 (x^{4} + 2) + 2 (x^{3} + 4) x)$ .

$4 x^{2} {(x^{3} + 4)}^{3} (3 (x^{4} + 2) + 2 (x^{3} + 4) x) (x^{4} + 2)$