Calcolo Esempi

$y = \frac{2 x^{3} - 5 x^{2}}{x + 2}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2}$ e $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 5 x^{2}] - (2 x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} - 5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{(x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{(x + 2) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} - 5 (2 x)) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} - 10 x) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} - 10 x) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} - 10 x) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} - 10 x) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} - 10 x) - (2 x^{3} - 5 x^{2}) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} - 10 x) - (2 x^{3} - 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x + 2) (6 x^{2} - 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Espandi $(x + 2) (6 x^{2} - 10 x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (6 x^{2} - 10 x) + 2 (6 x^{2} - 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (6 x^{2}) + x (- 10 x) + 2 (6 x^{2} - 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (6 x^{2}) + x (- 10 x) + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{6 x \cdot x^{2} + x (- 10 x) + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1.2.1.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{6 (x^{2} x) + x (- 10 x) + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1.2.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{6 (x^{2} x^{1}) + x (- 10 x) + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 x^{2 + 1} + x (- 10 x) + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{6 x^{3} + x (- 10 x) + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{6 x^{3} - 10 x \cdot x + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1.2.1.4.1

Sposta $x$ .

$\frac{6 x^{3} - 10 (x \cdot x) + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{6 x^{3} - 10 x^{2} + 2 (6 x^{2}) + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.5

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{6 x^{3} - 10 x^{2} + 12 x^{2} + 2 (- 10 x) - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 10$ per $2$ .

$\frac{6 x^{3} - 10 x^{2} + 12 x^{2} - 20 x - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.2

Somma $- 10 x^{2}$ e $12 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x - (2 x^{3}) - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x - 2 x^{3} - (- 5 x^{2})}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x - 2 x^{3} + 5 x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $2 x^{3}$ da $6 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} + 2 x^{2} - 20 x + 5 x^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Somma $2 x^{2}$ e $5 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{3} + 7 x^{2} - 20 x}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Scomponi $x$ da $4 x^{3} + 7 x^{2} - 20 x$ .

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Passaggio 3.3.1

Scomponi $x$ da $4 x^{3}$ .

$\frac{x (4 x^{2}) + 7 x^{2} - 20 x}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $x$ da $7 x^{2}$ .

$\frac{x (4 x^{2}) + x (7 x) - 20 x}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Scomponi $x$ da $- 20 x$ .

$\frac{x (4 x^{2}) + x (7 x) + x \cdot - 20}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Scomponi $x$ da $x (4 x^{2}) + x (7 x)$ .

$\frac{x (4 x^{2} + 7 x) + x \cdot - 20}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 3.3.5

Scomponi $x$ da $x (4 x^{2} + 7 x) + x \cdot - 20$ .

$\frac{x (4 x^{2} + 7 x - 20)}{{(x + 2)}^{2}}$