Calcolo Esempi

$y = \sqrt[3]{24 x^{2} + 8}$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{24 x^{2} + 8}]$ come $\frac{d}{d x} [2 \sqrt[3]{3 x^{2} + 1}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi $24 x^{2} + 8$ come $2^{3} (3 x^{2} + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $8$ da $24 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{8 (3 x^{2}) + 8}]$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $8$ da $8$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{8 (3 x^{2}) + 8 (1)}]$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $8$ da $8 (3 x^{2}) + 8 (1)$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{8 (3 x^{2} + 1)}]$

Passaggio 1.1.4

Riscrivi $8$ come $2^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{2^{3} (3 x^{2} + 1)}]$

Passaggio 1.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt[3]{3 x^{2} + 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{3 x^{2} + 1}$ come ${(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = 3 x^{2} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x^{2} + 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x^{2} + 1$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Passaggio 7.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 (\frac{1}{3} {(3 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{3}$ e ${(3 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 (\frac{{(3 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Passaggio 8.3

Sposta ${(3 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1])$

Passaggio 8.4

$\frac{1}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ e $2$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 1]$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 10

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 12

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 x + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 13

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 x + 0)$

Passaggio 14

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Somma $6 x$ e $0$ .

$\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (6 x)$

Passaggio 14.2

$6$ e $\frac{2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x$

Passaggio 14.3

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{12}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x$

Passaggio 14.4

$\frac{12}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$\frac{12 x}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 14.5

Scomponi $3$ da $12 x$ .

$\frac{3 (4 x)}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Scomponi $3$ da $3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3 (4 x)}{3 ({(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 15.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (4 x)}{3 {(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 15.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 x}{{(3 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$