Calcolo Esempi

$y = x^{\frac{4}{7}} (x + 2)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{4}{7}}$ e $g (x) = x + 2$ .

$x^{\frac{4}{7}} \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$x^{\frac{4}{7}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{\frac{4}{7}} (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$

Passaggio 2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{\frac{4}{7}} (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$x^{\frac{4}{7}} \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $x^{\frac{4}{7}}$ per $1$ .

$x^{\frac{4}{7}} + (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{7}}]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{4}{7}$ .

$x^{\frac{4}{7}} + (x + 2) (\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} - 1})$

Passaggio 3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$x^{\frac{4}{7}} + (x + 2) (\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Passaggio 4

$- 1$ e $\frac{7}{7}$ .

$x^{\frac{4}{7}} + (x + 2) (\frac{4}{7} x^{\frac{4}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{4}{7}} + (x + 2) (\frac{4}{7} x^{\frac{4 - 1 \cdot 7}{7}})$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$x^{\frac{4}{7}} + (x + 2) (\frac{4}{7} x^{\frac{4 - 7}{7}})$

Passaggio 6.2

Sottrai $7$ da $4$ .

$x^{\frac{4}{7}} + (x + 2) (\frac{4}{7} x^{\frac{- 3}{7}})$

Passaggio 7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{\frac{4}{7}} + (x + 2) (\frac{4}{7} x^{- \frac{3}{7}})$

Passaggio 8

$\frac{4}{7}$ e $x^{- \frac{3}{7}}$ .

$x^{\frac{4}{7}} + (x + 2) \frac{4 x^{- \frac{3}{7}}}{7}$

Passaggio 9

Sposta $x^{- \frac{3}{7}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{4}{7}} + (x + 2) \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{\frac{4}{7}} + x \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}} + 2 \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 10.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 10.2.1

$x$ e $\frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{x \cdot 4}{7 x^{\frac{3}{7}}} + 2 \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 10.2.2

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{4 \cdot x}{7 x^{\frac{3}{7}}} + 2 \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 10.2.3

Sposta $x^{\frac{3}{7}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{4 x \cdot x^{- \frac{3}{7}}}{7} + 2 \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 10.2.4

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{3}{7}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 10.2.4.1

Sposta $x^{- \frac{3}{7}}$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{4 (x^{- \frac{3}{7}} x)}{7} + 2 \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 10.2.4.2

Moltiplica $x^{- \frac{3}{7}}$ per $x$ .

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Passaggio 10.2.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{4 (x^{- \frac{3}{7}} x^{1})}{7} + 2 \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 10.2.4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{4 x^{- \frac{3}{7} + 1}}{7} + 2 \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 10.2.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{4 x^{- \frac{3}{7} + \frac{7}{7}}}{7} + 2 \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 10.2.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{4 x^{\frac{- 3 + 7}{7}}}{7} + 2 \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 10.2.4.5

Somma $- 3$ e $7$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{4 x^{\frac{4}{7}}}{7} + 2 \frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 10.2.5

$2$ e $\frac{4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{4 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{2 \cdot 4}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 10.2.6

Moltiplica $2$ per $4$ .

$x^{\frac{4}{7}} + \frac{4 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{8}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 10.2.7

Per scrivere $x^{\frac{4}{7}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$x^{\frac{4}{7}} \cdot \frac{7}{7} + \frac{4 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{8}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 10.2.8

$x^{\frac{4}{7}}$ e $\frac{7}{7}$ .

$\frac{x^{\frac{4}{7}} \cdot 7}{7} + \frac{4 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{8}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 10.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{\frac{4}{7}} \cdot 7 + 4 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{8}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 10.2.10

Sposta $7$ alla sinistra di $x^{\frac{4}{7}}$ .

$\frac{7 \cdot x^{\frac{4}{7}} + 4 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{8}{7 x^{\frac{3}{7}}}$

Passaggio 10.2.11

Somma $7 x^{\frac{4}{7}}$ e $4 x^{\frac{4}{7}}$ .

$\frac{11 x^{\frac{4}{7}}}{7} + \frac{8}{7 x^{\frac{3}{7}}}$