Calcolo Esempi

$y = x^{2} e^{x^{3}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x^{3}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}] + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$x^{2} (e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$x^{2} (e^{x^{3}} (3 x^{2})) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} (e^{x^{3}} \cdot (3)) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2 + 2} (e^{x^{3}} \cdot (3)) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.3

Somma $2$ e $2$ .

$x^{4} (e^{x^{3}} \cdot (3)) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 5

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{x^{3}}$ .

$x^{4} (3 \cdot e^{x^{3}}) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{4} (3 e^{x^{3}}) + e^{x^{3}} (2 x)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riordina i termini.

$3 e^{x^{3}} x^{4} + 2 e^{x^{3}} x$

Passaggio 7.2

Riordina i fattori in $3 e^{x^{3}} x^{4} + 2 e^{x^{3}} x$ .

$3 x^{4} e^{x^{3}} + 2 x e^{x^{3}}$