Calcolo Esempi

$y = x^{2} \sin^{4} (x) + x \cos^{- 2} (x)$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} \sin^{4} (x) + x \cos^{- 2} (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} \sin^{4} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin^{4} (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\sin^{4} (x)] + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin (x)$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$x^{2} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$

Passaggio 2.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + \frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [x \cos^{- 2} (x)]$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \cos^{- 2} (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x \frac{d}{d x} [\cos^{- 2} (x)] + \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\cos (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (- 2 {u_{2}}^{- 3} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\cos (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (- 2 \cos^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (- 2 \cos^{- 3} (x) (- \sin (x))) + \cos^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (- 2 \cos^{- 3} (x) (- \sin (x))) + \cos^{- 2} (x) \cdot 1$

Passaggio 3.5

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (2 \cos^{- 3} (x) \sin (x)) + \cos^{- 2} (x) \cdot 1$

Passaggio 3.6

Moltiplica $\cos^{- 2} (x)$ per $1$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (2 \cos^{- 3} (x) \sin (x)) + \cos^{- 2} (x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (2 \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x)) + \cos^{- 2} (x)$

Passaggio 4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (2 \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.3.1

Converti da $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ a $\sec^{3} (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (2 \sec^{3} (x) \sin (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.3.2

Converti da $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ a $\sec^{2} (x)$ .

$x^{2} (4 \sin^{3} (x) \cos (x)) + \sin^{4} (x) (2 x) + x (2 \sec^{3} (x) \sin (x)) + \sec^{2} (x)$

Passaggio 4.4

Riordina i termini.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x \sec^{3} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x)$

Passaggio 4.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.5.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x {(\frac{1}{\cos (x)})}^{3} \sin (x) + \sec^{2} (x)$

Passaggio 4.5.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x \frac{1^{3}}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x)$

Passaggio 4.5.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x \frac{1}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x)$

Passaggio 4.5.4

Moltiplica $2 x \frac{1}{\cos^{3} (x)}$ .

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Passaggio 4.5.4.1

$2$ e $\frac{1}{\cos^{3} (x)}$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + x \frac{2}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x)$

Passaggio 4.5.4.2

$x$ e $\frac{2}{\cos^{3} (x)}$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{x \cdot 2}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x)$

Passaggio 4.5.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 \cdot x}{\cos^{3} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x)$

Passaggio 4.5.6

$\frac{2 x}{\cos^{3} (x)}$ e $\sin (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \sec^{2} (x)$

Passaggio 4.5.7

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Passaggio 4.5.8

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.5.9

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x \sin (x)}{\cos^{3} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.6.1

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{3} (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x \sin (x)}{\cos (x) \cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.6.2

Frazioni separate.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.6.3

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x}{\cos^{2} (x)} \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.6.4

$\frac{2 x}{\cos^{2} (x)}$ e $\tan (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x \tan (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.6.5

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{2} (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x \tan (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.6.6

Frazioni separate.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.6.7

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.6.8

Riscrivi $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ come un prodotto.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.6.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.9.1

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.6.9.2

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{2 x}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.6.10

Moltiplica $\frac{2 x}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.10.1

$\tan (x)$ e $\frac{2 x}{\cos (x)}$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{\tan (x) (2 x)}{\cos (x)} \sec (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.6.10.2

$\frac{\tan (x) (2 x)}{\cos (x)}$ e $\sec (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{\tan (x) (2 x) \sec (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.6.11

Frazioni separate.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{(2 x) \sec (x)}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.6.12

Riscrivi $\tan (x)$ in termini di seno e coseno.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{(2 x) \sec (x)}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.6.13

Riscrivi $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ come un prodotto.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{(2 x) \sec (x)}{1} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.6.14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.14.1

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{(2 x) \sec (x)}{1} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.6.14.2

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + \frac{(2 x) \sec (x)}{1} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.6.15

Dividi $(2 x) \sec (x)$ per $1$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + (2 x) \sec (x) (\tan (x) \sec (x)) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.6.16

Moltiplica $(2 x) \sec (x) (\tan (x) \sec (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.16.1

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.6.16.2

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.6.16.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.6.16.4

Somma $1$ e $1$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x \sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.6.17

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x \sec^{2} (x) \tan (x) + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Passaggio 4.6.18

Riscrivi $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ come ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x \sec^{2} (x) \tan (x) + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Passaggio 4.6.19

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$4 x^{2} \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 x \sin^{4} (x) + 2 x \sec^{2} (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$