Calcolo Esempi

$y = x^{\ln (4 x)}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare la differenziazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $x^{\ln (4 x)}$ come $e^{\ln (x^{\ln (4 x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (4 x)})}]$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln (x^{\ln (4 x)})$ spostando $\ln (4 x)$ fuori dal logaritmo.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (4 x) \ln (x)}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \ln (4 x) \ln (x)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\ln (4 x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln (4 x) \ln (x)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (4 x) \ln (x)]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\ln (4 x) \ln (x)$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (4 x) \ln (x)]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \ln (4 x)$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\ln (4 x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (4 x)])$

Passaggio 4

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\ln (4 x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (4 x)])$

Passaggio 5

$\ln (4 x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (4 x)])$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Passaggio 6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $4 x$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]))$

Passaggio 6.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x]))$

Passaggio 6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 x$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \ln (x) (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]))$

Passaggio 7

Differenzia.

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Passaggio 7.1

$\frac{1}{4 x}$ e $\ln (x)$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 7.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 7.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 7.3.1

$4$ e $\frac{\ln (x)}{4 x}$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{4 \ln (x)}{4 x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7.3.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 7.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{4 \ln (x)}{4 x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{x} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 7.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{x} \cdot 1)$

Passaggio 7.5

Moltiplica $\frac{\ln (x)}{x}$ per $1$ .

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} (\frac{\ln (4 x)}{x} + \frac{\ln (x)}{x})$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{\ln (4 x)}{x} + e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 8.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 8.2.1

$e^{\ln (4 x) \ln (x)}$ e $\frac{\ln (4 x)}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (4 x) \ln (x)} \ln (4 x)}{x} + e^{\ln (4 x) \ln (x)} \frac{\ln (x)}{x}$

Passaggio 8.2.2

$e^{\ln (4 x) \ln (x)}$ e $\frac{\ln (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\ln (4 x) \ln (x)} \ln (4 x)}{x} + \frac{e^{\ln (4 x) \ln (x)} \ln (x)}{x}$