Calcolo Esempi

$y = \frac{x \sin (x)}{3 + \cos (x)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x \sin (x)$ e $g (x) = 3 + \cos (x)$ .

$\frac{(3 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)] - x \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{(3 + \cos (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{(3 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(3 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\frac{(3 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 4.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 + \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(3 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 4.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(3 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 4.5

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(3 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 5

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{(3 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (- \sin (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 6

Moltiplica.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{(3 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + 1 x \sin (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{(3 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 7

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(3 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 8

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(3 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 9

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(3 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 10

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{(3 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 11.1.1.1

Espandi $(3 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 11.1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (x \cos (x) + \sin (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.1.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (x \cos (x)) + 3 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 (x \cos (x)) + 3 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.1.1.2

Moltiplica $\cos (x) (x \cos (x))$ .

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Passaggio 11.1.1.2.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 x \cos (x) + 3 \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.1.1.2.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 x \cos (x) + 3 \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.1.1.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x \cos (x) + 3 \sin (x) + x {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.1.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{3 x \cos (x) + 3 \sin (x) + x \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.1.2

Sposta $x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{3 x \cos (x) + 3 \sin (x) + x \cos^{2} (x) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.1.3

Scomponi $x$ da $x \cos^{2} (x)$ .

$\frac{3 x \cos (x) + 3 \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.1.4

Scomponi $x$ da $x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{3 x \cos (x) + 3 \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.1.5

Scomponi $x$ da $x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{3 x \cos (x) + 3 \sin (x) + x (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.1.6

Rimetti in ordine i termini.

$\frac{3 x \cos (x) + 3 \sin (x) + x (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.1.7

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{3 x \cos (x) + 3 \sin (x) + x \cdot 1 + \cos (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.1.8

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{3 x \cos (x) + 3 \sin (x) + x + \cos (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

Passaggio 11.2

Riordina i termini.

$\frac{3 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + 3 \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$