Calcolo Esempi

$y = \log_{5} (\sqrt{5 x + 2})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5 x + 2}$ come ${(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\log_{5} ({(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \log_{5} (x)$ e $g (x) = {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{5} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\log_{5} (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1} \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 5 x + 2$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $5 x + 2$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $5 x + 2$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Passaggio 8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Passaggio 9

$\frac{1}{2}$ e ${(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{{(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Passaggio 10

Sposta ${(5 x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 2])$

Passaggio 11

Moltiplica $\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{{(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)}$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} ({(5 x + 2)}^{\frac{1}{2}} \ln (5))} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Passaggio 12

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Passaggio 13

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 13.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Passaggio 13.2

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Passaggio 14

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 14.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Passaggio 14.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2 {(5 x + 2)}^{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Passaggio 15

Semplifica.

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} \frac{d}{d x} [5 x + 2]$

Passaggio 16

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 17

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 18

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 19

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (5 + \frac{d}{d x} [2])$

Passaggio 20

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} (5 + 0)$

Passaggio 21

Riduci le frazioni.

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Passaggio 21.1

Somma $5$ e $0$ .

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)} \cdot 5$

Passaggio 21.2

$\frac{1}{2 (5 x + 2) \ln (5)}$ e $5$ .

$\frac{5}{2 (5 x + 2) \ln (5)}$

Passaggio 22

Semplifica.

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Passaggio 22.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5}{(2 (5 x) + 2 \cdot 2) \ln (5)}$

Passaggio 22.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{5}{2 (5 x) \ln (5) + 2 \cdot 2 \ln (5)}$

Passaggio 22.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 22.3.1

Moltiplica $5$ per $2$ .

$\frac{5}{10 x \ln (5) + 2 \cdot 2 \ln (5)}$

Passaggio 22.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{5}{10 x \ln (5) + 4 \ln (5)}$