Calcolo Esempi

$y = \frac{\cot (x)}{1 + \cot (x)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = 1 + \cot (x)$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) \frac{d}{d x} [\cot (x)] - \cot (x) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Passaggio 2

La derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [1 + \cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \cot (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Passaggio 3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Passaggio 4

La derivata di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) - \cot (x) (- \csc^{2} (x))}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Passaggio 5

Moltiplica.

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Passaggio 5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) + 1 \cot (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\cot (x)$ per $1$ .

$\frac{(1 + \cot (x)) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.2.1

Combina i termini opposti in $1 (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \csc^{2} (x)$ .

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Passaggio 6.2.1.1

Riordina i fattori nei termini di $\cot (x) (- \csc^{2} (x))$ e $\cot (x) \csc^{2} (x)$ .

$\frac{1 (- \csc^{2} (x)) - \csc^{2} (x) \cot (x) + \csc^{2} (x) \cot (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Somma $- \csc^{2} (x) \cot (x)$ e $\csc^{2} (x) \cot (x)$ .

$\frac{1 (- \csc^{2} (x)) + 0}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Passaggio 6.2.1.3

Somma $1 (- \csc^{2} (x))$ e $0$ .

$\frac{1 (- \csc^{2} (x))}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $- \csc^{2} (x)$ per $1$ .

$\frac{- \csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\csc^{2} (x)}{{(1 + \cot (x))}^{2}}$