Calcolo Esempi

$y = \frac{8 \ln (x + 5)}{x^{2}}$

Passaggio 1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{8 \ln (x + 5)}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 5)}{x^{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x + 5)}{x^{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \ln (x + 5)$ e $g (x) = x^{2}$ .

$8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 5)] - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 5)] - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$8 \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x + 5)] - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 5$ .

$8 \frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 5]) - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$8 \frac{x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 5]) - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 5$ .

$8 \frac{x^{2} (\frac{1}{x + 5} \frac{d}{d x} [x + 5]) - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$\frac{1}{x + 5}$ e $x^{2}$ .

$8 \frac{\frac{x^{2}}{x + 5} \frac{d}{d x} [x + 5] - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$8 \frac{\frac{x^{2}}{x + 5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 5.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 \frac{\frac{x^{2}}{x + 5} (1 + \frac{d}{d x} [5]) - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 5.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 \frac{\frac{x^{2}}{x + 5} (1 + 0) - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 5.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$8 \frac{\frac{x^{2}}{x + 5} \cdot 1 - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $\frac{x^{2}}{x + 5}$ per $1$ .

$8 \frac{\frac{x^{2}}{x + 5} - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Passaggio 6

Moltiplica $\frac{\frac{x^{2}}{x + 5} - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$ per $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$8 (\frac{x + 5}{x + 5} \cdot \frac{\frac{x^{2}}{x + 5} - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}})$

Passaggio 7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Combina.

$8 \frac{(x + 5) (\frac{x^{2}}{x + 5} - \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 5) x^{4}}$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$8 \frac{(x + 5) \frac{x^{2}}{x + 5} + (x + 5) (- \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 5) x^{4}}$

Passaggio 7.3

Elimina il fattore comune di $x + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Elimina il fattore comune.

$8 \frac{(x + 5) \frac{x^{2}}{x + 5} + (x + 5) (- \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 5) x^{4}}$

Passaggio 7.3.2

Riscrivi l'espressione.

$8 \frac{x^{2} + (x + 5) (- \ln (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2}])}{(x + 5) x^{4}}$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$8 \frac{x^{2} + (x + 5) (- \ln (x + 5) (2 x))}{(x + 5) x^{4}}$

Passaggio 9

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$8 \frac{x^{2} + (x + 5) (- 2 \ln (x + 5) x)}{(x + 5) x^{4}}$

Passaggio 9.2

$8$ e $\frac{x^{2} + (x + 5) (- 2 \ln (x + 5) x)}{(x + 5) x^{4}}$ .

$\frac{8 (x^{2} + (x + 5) (- 2 \ln (x + 5) x))}{(x + 5) x^{4}}$

Passaggio 10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 x^{2} + 8 ((x + 5) (- 2 \ln (x + 5) x))}{(x + 5) x^{4}}$

Passaggio 10.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 x^{2} + 8 ((x + 5) (- 2 \ln (x + 5) x))}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.1

Semplifica $- 2 \ln (x + 5)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{8 x^{2} + 8 ((x + 5) (- \ln ({(x + 5)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 x^{2} + 8 (x (- \ln ({(x + 5)}^{2}) x) + 5 (- \ln ({(x + 5)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{8 x^{2} + 8 (- x (\ln ({(x + 5)}^{2}) x) + 5 (- \ln ({(x + 5)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.4

Moltiplica $5 (- \ln ({(x + 5)}^{2}) x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 (- x (\ln ({(x + 5)}^{2}) x) - 5 (\ln ({(x + 5)}^{2}) x))}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.4.2

Riordina $\ln ({(x + 5)}^{2})$ e $- 5$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 (- x (\ln ({(x + 5)}^{2}) x) - 5 \cdot \ln ({(x + 5)}^{2}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.4.3

Semplifica $- 5 \cdot \ln ({(x + 5)}^{2})$ spostando $5$ all'interno del logaritmo.

$\frac{8 x^{2} + 8 (- x (\ln ({(x + 5)}^{2}) x) - \ln ({({(x + 5)}^{2})}^{5}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.5.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.5.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 (- (x \cdot x) \ln ({(x + 5)}^{2}) - \ln ({({(x + 5)}^{2})}^{5}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.5.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 (- x^{2} \ln ({(x + 5)}^{2}) - \ln ({({(x + 5)}^{2})}^{5}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.5.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 5)}^{2})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.5.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 (- x^{2} \ln ({(x + 5)}^{2}) - \ln ({(x + 5)}^{2 \cdot 5}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.5.2.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{8 x^{2} + 8 (- x^{2} \ln ({(x + 5)}^{2}) - \ln ({(x + 5)}^{10}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{8 x^{2} + 8 (- x^{2} \ln ({(x + 5)}^{2})) + 8 (- \ln ({(x + 5)}^{10}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.7

Moltiplica $8 (- x^{2} \ln ({(x + 5)}^{2}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{8 x^{2} - 8 (x^{2} \ln ({(x + 5)}^{2})) + 8 (- \ln ({(x + 5)}^{10}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.7.2

Semplifica $- 8 \ln ({(x + 5)}^{2})$ spostando $8$ all'interno del logaritmo.

$\frac{8 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 5)}^{2})}^{8})) + 8 (- \ln ({(x + 5)}^{10}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.8

Moltiplica $8 (- \ln ({(x + 5)}^{10}) x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$\frac{8 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 5)}^{2})}^{8})) - 8 (\ln ({(x + 5)}^{10}) x)}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.8.2

Riordina $\ln ({(x + 5)}^{10})$ e $- 8$ .

$\frac{8 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 5)}^{2})}^{8})) - 8 \cdot \ln ({(x + 5)}^{10}) x}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.8.3

Semplifica $- 8 \cdot \ln ({(x + 5)}^{10})$ spostando $8$ all'interno del logaritmo.

$\frac{8 x^{2} + x^{2} (- \ln ({({(x + 5)}^{2})}^{8})) - \ln ({({(x + 5)}^{10})}^{8}) x}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.9.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{8 x^{2} - x^{2} \ln ({({(x + 5)}^{2})}^{8}) - \ln ({({(x + 5)}^{10})}^{8}) x}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.9.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 5)}^{2})}^{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.9.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{2 \cdot 8}) - \ln ({({(x + 5)}^{10})}^{8}) x}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.9.2.2

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - \ln ({({(x + 5)}^{10})}^{8}) x}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.9.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 5)}^{10})}^{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1.9.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - \ln ({(x + 5)}^{10 \cdot 8}) x}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.3.1.9.3.2

Moltiplica $10$ per $8$ .

$\frac{8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - \ln ({(x + 5)}^{80}) x}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.3.2

Riordina i fattori in $8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - \ln ({(x + 5)}^{80}) x$ .

$\frac{8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - x \ln ({(x + 5)}^{80})}{x \cdot x^{4} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.4

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - x \ln ({(x + 5)}^{80})}{x^{1} x^{4} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.4.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - x \ln ({(x + 5)}^{80})}{x^{1 + 4} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.4.2

Somma $1$ e $4$ .

$\frac{8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - x \ln ({(x + 5)}^{80})}{x^{5} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.5

Scomponi $x$ da $8 x^{2} - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - x \ln ({(x + 5)}^{80})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Scomponi $x$ da $8 x^{2}$ .

$\frac{x (8 x) - x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16}) - x \ln ({(x + 5)}^{80})}{x^{5} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.5.2

Scomponi $x$ da $- x^{2} \ln ({(x + 5)}^{16})$ .

$\frac{x (8 x) + x (- x \ln ({(x + 5)}^{16})) - x \ln ({(x + 5)}^{80})}{x^{5} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.5.3

Scomponi $x$ da $- x \ln ({(x + 5)}^{80})$ .

$\frac{x (8 x) + x (- x \ln ({(x + 5)}^{16})) + x (- \ln ({(x + 5)}^{80}))}{x^{5} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.5.4

Scomponi $x$ da $x (8 x) + x (- x \ln ({(x + 5)}^{16}))$ .

$\frac{x (8 x - x \ln ({(x + 5)}^{16})) + x (- \ln ({(x + 5)}^{80}))}{x^{5} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.5.5

Scomponi $x$ da $x (8 x - x \ln ({(x + 5)}^{16})) + x (- \ln ({(x + 5)}^{80}))$ .

$\frac{x (8 x - x \ln ({(x + 5)}^{16}) - \ln ({(x + 5)}^{80}))}{x^{5} + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.6

Scomponi $x^{4}$ da $x^{5} + 5 x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.1

Scomponi $x^{4}$ da $x^{5}$ .

$\frac{x (8 x - x \ln ({(x + 5)}^{16}) - \ln ({(x + 5)}^{80}))}{x^{4} x + 5 x^{4}}$

Passaggio 10.6.2

Scomponi $x^{4}$ da $5 x^{4}$ .

$\frac{x (8 x - x \ln ({(x + 5)}^{16}) - \ln ({(x + 5)}^{80}))}{x^{4} x + x^{4} \cdot 5}$

Passaggio 10.6.3

Scomponi $x^{4}$ da $x^{4} x + x^{4} \cdot 5$ .

$\frac{x (8 x - x \ln ({(x + 5)}^{16}) - \ln ({(x + 5)}^{80}))}{x^{4} (x + 5)}$

Passaggio 10.7

Espandi $\ln ({(x + 5)}^{16})$ spostando $16$ fuori dal logaritmo.

$\frac{x (8 x - x (16 \ln (x + 5)) - \ln ({(x + 5)}^{80}))}{x^{4} (x + 5)}$

Passaggio 10.8

Espandi $\ln ({(x + 5)}^{80})$ spostando $80$ fuori dal logaritmo.

$\frac{x (8 x - x (16 \ln (x + 5)) - (80 \ln (x + 5)))}{x^{4} (x + 5)}$

Passaggio 10.9

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.9.1

Scomponi $x$ da $x^{4} (x + 5)$ .

$\frac{x (8 x - x (16 \ln (x + 5)) - (80 \ln (x + 5)))}{x (x^{3} (x + 5))}$

Passaggio 10.9.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (8 x - x (16 \ln (x + 5)) - (80 \ln (x + 5)))}{x (x^{3} (x + 5))}$

Passaggio 10.9.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8 x - x (16 \ln (x + 5)) - (80 \ln (x + 5))}{x^{3} (x + 5)}$

Passaggio 10.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.10.1

Moltiplica $16$ per $- 1$ .

$\frac{8 x - 16 x \ln (x + 5) - 1 \cdot 80 \ln (x + 5)}{x^{3} (x + 5)}$

Passaggio 10.10.2

Moltiplica $- 1$ per $80$ .

$\frac{8 x - 16 x \ln (x + 5) - 80 \ln (x + 5)}{x^{3} (x + 5)}$

Passaggio 10.10.3

Scomponi $8$ da $8 x - 16 x \ln (x + 5) - 80 \ln (x + 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.10.3.1

Scomponi $8$ da $8 x$ .

$\frac{8 (x) - 16 x \ln (x + 5) - 80 \ln (x + 5)}{x^{3} (x + 5)}$

Passaggio 10.10.3.2

Scomponi $8$ da $- 16 x \ln (x + 5)$ .

$\frac{8 (x) + 8 (- 2 x \ln (x + 5)) - 80 \ln (x + 5)}{x^{3} (x + 5)}$

Passaggio 10.10.3.3

Scomponi $8$ da $- 80 \ln (x + 5)$ .

$\frac{8 (x) + 8 (- 2 x \ln (x + 5)) + 8 (- 10 \ln (x + 5))}{x^{3} (x + 5)}$

Passaggio 10.10.3.4

Scomponi $8$ da $8 (x) + 8 (- 2 x \ln (x + 5))$ .

$\frac{8 (x - 2 x \ln (x + 5)) + 8 (- 10 \ln (x + 5))}{x^{3} (x + 5)}$

Passaggio 10.10.3.5

Scomponi $8$ da $8 (x - 2 x \ln (x + 5)) + 8 (- 10 \ln (x + 5))$ .

$\frac{8 (x - 2 x \ln (x + 5) - 10 \ln (x + 5))}{x^{3} (x + 5)}$