Calcolo Esempi

$y = \ln (\frac{x}{x + 1})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x}{x + 1}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{x + 1}$ .

$\frac{1}{\frac{x}{x + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Passaggio 2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{x}{x + 1}$ .

$1 \frac{x + 1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{x + 1}{x}$ per $1$ .

$\frac{x + 1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x + 1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.6

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.6.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.6.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.6.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.6.4

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{x + 1}{x} \cdot \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.6.5

Moltiplica $\frac{x + 1}{x}$ per $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{x + 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.6.6

Elimina il fattore comune di $x + 1$ e ${(x + 1)}^{2}$ .

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Passaggio 5.6.6.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{x {(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.6.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.6.6.2.1

Scomponi $x + 1$ da $x {(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x (x + 1))}$

Passaggio 5.6.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 1) \cdot 1}{(x + 1) (x (x + 1))}$

Passaggio 5.6.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x (x + 1)}$