Calcolo Esempi

$y = \ln (1 - x e^{- x})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 1 - x e^{- x}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $1 - x e^{- x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 - x e^{- x}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 - x e^{- x}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 - x e^{- x}$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} \frac{d}{d x} [1 - x e^{- x}]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}])$

Passaggio 2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (0 + \frac{d}{d x} [- x e^{- x}])$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} \frac{d}{d x} [- x e^{- x}]$

Passaggio 2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x e^{- x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- \frac{d}{d x} [x e^{- x}])$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Passaggio 4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- x$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- x$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 5.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 5.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 5.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1))$

Passaggio 5.5

Moltiplica $e^{- x}$ per $1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x}) + e^{- x}))$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (- (x (- e^{- x})) - e^{- x})$

Passaggio 6.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 6.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (1 (x (e^{- x})) - e^{- x})$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{1}{1 - x e^{- x}} (x e^{- x} - e^{- x})$

Passaggio 6.3

Riordina i fattori di $\frac{1}{1 - x e^{- x}} (x e^{- x} - e^{- x})$ .

$(x e^{- x} - e^{- x}) \frac{1}{1 - x e^{- x}}$

Passaggio 6.4

Moltiplica $x e^{- x} - e^{- x}$ per $\frac{1}{1 - x e^{- x}}$ .

$\frac{x e^{- x} - e^{- x}}{1 - x e^{- x}}$

Passaggio 6.5

Scomponi $e^{- x}$ da $x e^{- x} - e^{- x}$ .

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Passaggio 6.5.1

Scomponi $e^{- x}$ da $x e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} x - e^{- x}}{1 - x e^{- x}}$

Passaggio 6.5.2

Scomponi $e^{- x}$ da $- e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1}{1 - x e^{- x}}$

Passaggio 6.5.3

Scomponi $e^{- x}$ da $e^{- x} x + e^{- x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{- x} (x - 1)}{1 - x e^{- x}}$