Calcolo Esempi

$y = \sin (\sqrt[3]{x}) + \sqrt[3]{\sin (x)}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (\sqrt[3]{x}) + \sqrt[3]{\sin (x)}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (\sqrt[3]{x})]$ .

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x^{\frac{1}{3}})] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

Passaggio 2.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

Passaggio 2.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

Passaggio 2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

Passaggio 2.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

Passaggio 2.7.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

Passaggio 2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

Passaggio 2.9

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\cos (x^{\frac{1}{3}}) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

Passaggio 2.10

$\cos (x^{\frac{1}{3}})$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}}) x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

Passaggio 2.11

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{\sin (x)}]$ .

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{\sin (x)}$ come ${\sin (x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 3.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} - 1} \cos (x)$

Passaggio 3.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \cos (x)$

Passaggio 3.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \cos (x)$

Passaggio 3.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \cos (x)$

Passaggio 3.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \cos (x)$

Passaggio 3.7.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{\frac{- 2}{3}} \cos (x)$

Passaggio 3.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3} {\sin (x)}^{- \frac{2}{3}} \cos (x)$

Passaggio 3.9

$\frac{1}{3}$ e ${\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cos (x)$

Passaggio 3.10

$\frac{{\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{\sin (x)}^{- \frac{2}{3}} \cos (x)}{3}$

Passaggio 3.11

Sposta ${\sin (x)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\cos (x)}{3 {\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Frazioni separate.

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\cos (x)}{3} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.2

Converti da $\frac{1}{{\sin (x)}^{\frac{2}{3}}}$ a ${\csc (x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\cos (x)}{3} {\csc (x)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.1.3

$\frac{\cos (x)}{3}$ e ${\csc (x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\cos (x) {\csc (x)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 4.2

Riordina i fattori in $\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\cos (x) {\csc (x)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{\cos (x^{\frac{1}{3}})}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{{\csc (x)}^{\frac{2}{3}} \cos (x)}{3}$