Calcolo Esempi

$y = 4 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x - 8 + \frac{1}{x}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x - 8 + \frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 x^{2} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$12 x^{2} + 4 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 4

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Passaggio 4.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} + 4 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 x^{2} + 4 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 4.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$12 x^{2} + 4 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 8] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 5

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 x^{2} + 4 x + 6 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 6

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$12 x^{2} + 4 x + 6 + 0 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 6.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$12 x^{2} + 4 x + 6 + 0 - x^{- 2}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 x^{2} + 4 x + 6 + 0 - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 7.2

Somma $12 x^{2} + 4 x + 6$ e $0$ .

$12 x^{2} + 4 x + 6 - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 7.3

Riordina i termini.

$12 x^{2} + 4 x - \frac{1}{x^{2}} + 6$