Calcolo Esempi

$x^{\frac{y}{z}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola di potenza generalizzata, secondo la quale $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ è $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , dove $f = x$ e $g = \frac{y}{z}$ .

$\frac{d}{d y} [x] (\frac{y}{z} x^{\frac{y}{z} - 1}) + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

$\frac{y}{z}$ e $x^{\frac{y}{z} - 1}$ .

$\frac{d}{d y} [x] \frac{y x^{\frac{y}{z} - 1}}{z} + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Passaggio 2.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 \frac{y x^{\frac{y}{z} - 1}}{z} + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Passaggio 2.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $0$ per $\frac{y x^{\frac{y}{z} - 1}}{z}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Passaggio 2.3.2

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y}{z}] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Passaggio 2.4

Poiché $\frac{1}{z}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{y}{z}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{z} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{z} \frac{d}{d y} [y] (x^{\frac{y}{z}} \ln (x))$

Passaggio 2.5

Riduci le frazioni.

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Passaggio 2.5.1

$x^{\frac{y}{z}}$ e $\frac{1}{z}$ .

$\frac{x^{\frac{y}{z}}}{z} \frac{d}{d y} [y] \ln (x)$

Passaggio 2.5.2

$\ln (x)$ e $\frac{x^{\frac{y}{z}}}{z}$ .

$\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z} \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z} \cdot 1$

Passaggio 2.7

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.7.1

Moltiplica $\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z}$ per $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{\frac{y}{z}}}{z}$

Passaggio 2.7.2

Riordina i fattori in $\ln (x) x^{\frac{y}{z}}$ .

$\frac{x^{\frac{y}{z}} \ln (x)}{z}$