Calcolo Esempi

$e^{x y^{2}} + \ln (y + z)$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x y^{2}} + \ln (y + z)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = x y^{2}$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x y^{2}$ .

$e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Passaggio 2.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x y^{2}$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$e^{x y^{2}} (x \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{x y^{2}} (x (2 y)) + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Passaggio 2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d y} [\ln (y + z)]$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \ln (y)$ e $g (y) = y + z$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y + z$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d y} [y + z]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d y} [y + z]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y + z$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} \frac{d}{d y} [y + z]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + z$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z]$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [z])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} (1 + \frac{d}{d y} [z])$

Passaggio 3.4

Poiché $z$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $z$ rispetto a $y$ è $0$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} (1 + 0)$

Passaggio 3.5

Somma $1$ e $0$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z} \cdot 1$

Passaggio 3.6

Moltiplica $\frac{1}{y + z}$ per $1$ .

$e^{x y^{2}} (2 x y) + \frac{1}{y + z}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.1.1

Per scrivere $e^{x y^{2}} (2 x y)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y + z}{y + z}$ .

$\frac{e^{x y^{2}} (2 x y) (y + z)}{y + z} + \frac{1}{y + z}$

Passaggio 4.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{x y^{2}} (2 x y) (y + z) + 1}{y + z}$

Passaggio 4.2

Riordina i termini.

$\frac{2 e^{x y^{2}} x y (y + z) + 1}{y + z}$