Calcolo Esempi

$y = x - 4 \ln (3 x - 9)$

Passaggio 1

Differenzia.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4 \ln (3 x - 9)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 9)]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 \ln (3 x - 9)$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 9)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 3 x - 9$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x - 9$ .

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x - 9$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \frac{d}{d x} [3 x - 9])$

Passaggio 2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Passaggio 2.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]))$

Passaggio 2.6

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 \cdot 1 + 0))$

Passaggio 2.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} (3 + 0))$

Passaggio 2.8

Somma $3$ e $0$ .

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 9} \cdot 3)$

Passaggio 2.9

$\frac{1}{3 x - 9}$ e $3$ .

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 9}$

Passaggio 2.10

Elimina il fattore comune di $3$ e $3 x - 9$ .

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Passaggio 2.10.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 x - 9}$

Passaggio 2.10.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.10.2.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) - 9}$

Passaggio 2.10.2.2

Scomponi $3$ da $- 9$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x) + 3 (- 3)}$

Passaggio 2.10.2.3

Scomponi $3$ da $3 (x) + 3 (- 3)$ .

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Passaggio 2.10.2.4

Elimina il fattore comune.

$1 - 4 \frac{3 \cdot 1}{3 (x - 3)}$

Passaggio 2.10.2.5

Riscrivi l'espressione.

$1 - 4 \frac{1}{x - 3}$

Passaggio 2.11

$- 4$ e $\frac{1}{x - 3}$ .

$1 + \frac{- 4}{x - 3}$

Passaggio 2.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$1 - \frac{4}{x - 3}$

Passaggio 3

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{x - 3}{x - 3} - \frac{4}{x - 3}$

Passaggio 3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x - 3 - 4}{x - 3}$

Passaggio 3.3

Sottrai $4$ da $- 3$ .

$\frac{x - 7}{x - 3}$