Calcolo Esempi

$y = x \ln^{2} (x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln^{2} (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)] + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\ln (x)$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\ln (x)$ .

$x (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$x (2 \ln (x) \frac{1}{x}) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola di potenza.

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Passaggio 4.1

$\frac{1}{x}$ e $2$ .

$x (\frac{2}{x} \ln (x)) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.2

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.2.1

$\frac{2}{x}$ e $\ln (x)$ .

$x \frac{2 \ln (x)}{x} + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.2.2

$x$ e $\frac{2 \ln (x)}{x}$ .

$\frac{x (2 \ln (x))}{x} + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.2.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (2 \ln (x))}{x} + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.2.3.2

Dividi $2 \ln (x)$ per $1$ .

$2 \ln (x) + \ln^{2} (x) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \ln (x) + \ln^{2} (x) \cdot 1$

Passaggio 4.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.4.1

Moltiplica $\ln^{2} (x)$ per $1$ .

$2 \ln (x) + \ln^{2} (x)$

Passaggio 4.4.2

Riordina i termini.

$\ln^{2} (x) + 2 \ln (x)$