Calcolo Esempi

$\frac{5 + t + t^{2}}{\sqrt{t}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t}$ come $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{5 + t + t^{2}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Passaggio 2

Sposta $t^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (5 + t + t^{2}) {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Passaggio 3

Moltiplica gli esponenti in ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (5 + t + t^{2}) t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int (5 + t + t^{2}) t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Passaggio 3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int (5 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

Passaggio 4

Espandi $(5 + t + t^{2}) t^{- \frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int (5 + t) t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t \cdot t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Passaggio 4.3

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{1} t^{- \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Passaggio 4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{1 - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Passaggio 4.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Passaggio 4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{2 - 1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Passaggio 4.7

Sottrai $1$ da $2$ .

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2} t^{- \frac{1}{2}} d t$

Passaggio 4.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 - \frac{1}{2}} d t$

Passaggio 4.9

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Passaggio 4.10

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d t$

Passaggio 4.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d t$

Passaggio 4.12

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.12.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{4 - 1}{2}} d t$

Passaggio 4.12.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} + t^{\frac{1}{2}} + t^{\frac{3}{2}} d t$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 5 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Passaggio 6

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $t$ è $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $t$ è $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$5 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \int t^{\frac{3}{2}} d t$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $t$ è $\frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

$10 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 10.2

Riordina i termini.

$10 t^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} t^{\frac{5}{2}} + C$