Calcolo Esempi

$u = v^{2} \sqrt{2 v - 9}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 u' - 9}$ come ${(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$u = {u'}^{2} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d u'} u = \frac{d}{d u'} ({u'}^{2} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 3

La derivata di $u$ rispetto a $u'$ è $u'$ .

$u'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d v} [f (u') g (u')]$ è $f (u') \frac{d}{d v} [g (u')] + g (u') \frac{d}{d v} [f (u')]$ dove $f (u') = {u'}^{2}$ e $g (u') = {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${u'}^{2} \frac{d}{d v} [{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d v} [f (g (u'))]$ è $f' (g (u')) g' (u')$ dove $f (u') = {u'}^{\frac{1}{2}}$ e $g (u') = 2 u' - 9$ .

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Passaggio 4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 u' - 9$ .

${u'}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 u' - 9$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(2 u' - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(2 u' - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $2$ da $1$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(2 u' - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.7

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.7.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(2 u' - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.7.2

$\frac{1}{2}$ e ${(2 u' - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

${u'}^{2} (\frac{{(2 u' - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.7.3

Sposta ${(2 u' - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.7.4

$\frac{1}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ e ${u'}^{2}$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [2 u' - 9] + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 u' - 9$ rispetto a $u'$ è $\frac{d}{d v} [2 u'] + \frac{d}{d v} [- 9]$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d v} [2 u'] + \frac{d}{d v} [- 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.9

Poiché $2$ è costante rispetto a $u'$ , la derivata di $2 u'$ rispetto a $u'$ è $2 \frac{d}{d v} [u']$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d v} [u'] + \frac{d}{d v} [- 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.10

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ è $n {u'}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.11

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 + \frac{d}{d v} [- 9]) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.12

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $u'$ , la derivata di $- 9$ rispetto a $u'$ è $0$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 + 0) + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.13

Semplifica i termini.

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Passaggio 4.13.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.13.2

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ e $2$ .

$\frac{{u'}^{2} \cdot 2}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.13.3

Sposta $2$ alla sinistra di ${u'}^{2}$ .

$\frac{2 \cdot {u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.13.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 {u'}^{2}}{2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.13.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{u'}^{2}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Passaggio 4.14

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ è $n {u'}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{{u'}^{2}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} (2 u')$

Passaggio 4.15

Sposta $2$ alla sinistra di ${(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{u'}^{2}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} u'$

Passaggio 4.16

Combina $\frac{{u'}^{2}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ e $2 {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} u'$ utilizzando un comune denominatore.

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Passaggio 4.16.1

Sposta ${(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{u'}^{2}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + 2 u' {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.16.2

Per scrivere $2 u' {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{u'}^{2}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 u' {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.16.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{u'}^{2} + 2 u' {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.17

Moltiplica ${(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.17.1

Sposta ${(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{u'}^{2} + 2 u' ({(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}})}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.17.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{u'}^{2} + 2 u' {(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.17.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{{u'}^{2} + 2 u' {(2 u' - 9)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.17.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{{u'}^{2} + 2 u' {(2 u' - 9)}^{\frac{2}{2}}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.17.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{{u'}^{2} + 2 u' {(2 u' - 9)}^{1}}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.18

Semplifica $2 u' {(2 u' - 9)}^{1}$ .

$\frac{{u'}^{2} + 2 u' (2 u' - 9)}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.19

Semplifica.

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Passaggio 4.19.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{{u'}^{2} + 2 u' (2 u') + 2 u' \cdot - 9}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.19.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.19.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.19.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{{u'}^{2} + 2 \cdot 2 u' u' + 2 u' \cdot - 9}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.19.2.1.2

Moltiplica $u'$ per $u'$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.19.2.1.2.1

Sposta $u'$ .

$\frac{{u'}^{2} + 2 \cdot 2 (u' u') + 2 u' \cdot - 9}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.19.2.1.2.2

Moltiplica $u'$ per $u'$ .

$\frac{{u'}^{2} + 2 \cdot 2 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 9}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.19.2.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{{u'}^{2} + 4 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 9}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.19.2.1.4

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$\frac{{u'}^{2} + 4 {u'}^{2} - 18 u'}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.19.2.2

Somma ${u'}^{2}$ e $4 {u'}^{2}$ .

$\frac{5 {u'}^{2} - 18 u'}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.19.3

Scomponi $u'$ da $5 {u'}^{2} - 18 u'$ .

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Passaggio 4.19.3.1

Scomponi $u'$ da $5 {u'}^{2}$ .

$\frac{u' (5 u') - 18 u'}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.19.3.2

Scomponi $u'$ da $- 18 u'$ .

$\frac{u' (5 u') + u' \cdot - 18}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.19.3.3

Scomponi $u'$ da $u' (5 u') + u' \cdot - 18$ .

$\frac{u' (5 u' - 18)}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$u' = \frac{u' (5 u' - 18)}{{(2 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 6

Rappresenta graficamente ogni lato dell'equazione. La soluzione è il valore x del punto di intersezione.

Nessuna soluzione

Passaggio 7

Sostituisci $u'$ con $\frac{d u}{d v}$ .

$\frac{d u}{d v}$