Calcolo Esempi

$r = \frac{1}{2 s} - \frac{8}{5 s^{4}}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d s} (r) = \frac{d}{d s} (\frac{1}{2 s} - \frac{8}{5 s^{4}})$

Passaggio 2

La derivata di $r$ rispetto a $s$ è $r'$ .

$r'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2 s} - \frac{8}{5 s^{4}}$ rispetto a $s$ è $\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$ .

$\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d s} [\frac{1}{2 s}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $s$ , la derivata di $\frac{1}{2 s}$ rispetto a $s$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{1}{s}$ come $s^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d s} [s^{- 1}] + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ è $n s^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} (- s^{- 2}) + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Passaggio 3.2.4

$\frac{1}{2}$ e $s^{- 2}$ .

$- \frac{s^{- 2}}{2} + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Passaggio 3.2.5

Sposta $s^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d s} [- \frac{8}{5 s^{4}}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $- \frac{8}{5}$ è costante rispetto a $s$ , la derivata di $- \frac{8}{5 s^{4}}$ rispetto a $s$ è $- \frac{8}{5} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{4}}]$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} \frac{d}{d s} [\frac{1}{s^{4}}]$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\frac{1}{s^{4}}$ come ${(s^{4})}^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} \frac{d}{d s} [{(s^{4})}^{- 1}]$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ è $f' (g (s)) g' (s)$ dove $f (s) = s^{- 1}$ e $g (s) = s^{4}$ .

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Passaggio 3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $s^{4}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d s} [s^{4}])$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{4}])$

Passaggio 3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $s^{4}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- {(s^{4})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s^{4}])$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ è $n s^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- {(s^{4})}^{- 2} (4 s^{3}))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(s^{4})}^{- 2}$ .

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Passaggio 3.3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- s^{4 \cdot - 2} (4 s^{3}))$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- s^{- 8} (4 s^{3}))$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- 4 s^{- 8} s^{3})$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $s^{- 8}$ per $s^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.7.1

Sposta $s^{3}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- 4 (s^{3} s^{- 8}))$

Passaggio 3.3.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- 4 s^{3 - 8})$

Passaggio 3.3.7.3

Sottrai $8$ da $3$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} - \frac{8}{5} (- 4 s^{- 5})$

Passaggio 3.3.8

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + 4 (\frac{8}{5}) s^{- 5}$

Passaggio 3.3.9

$4$ e $\frac{8}{5}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{4 \cdot 8}{5} s^{- 5}$

Passaggio 3.3.10

Moltiplica $4$ per $8$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32}{5} s^{- 5}$

Passaggio 3.3.11

$\frac{32}{5}$ e $s^{- 5}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32 s^{- 5}}{5}$

Passaggio 3.3.12

Sposta $s^{- 5}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32}{5 s^{5}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$r' = - \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32}{5 s^{5}}$

Passaggio 5

Sostituisci $r'$ con $\frac{d r}{d s}$ .

$\frac{d r}{d s} = - \frac{1}{2 s^{2}} + \frac{32}{5 s^{5}}$