Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{3 x^{2} - 5 x}{x^{2} + 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 3 x^{2} - 5 x$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x] - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x]) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Passaggio 4.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5 \frac{d}{d x} [x]) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5 \cdot 1) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2} - 5 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2} - 5 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2} - 5 x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2} - 5 x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 5.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2} - 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) + (- (3 x^{2}) - (- 5 x)) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x^{2} + 1) (6 x - 5) - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.3.1.1

Espandi $(x^{2} + 1) (6 x - 5)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 6.3.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} (6 x - 5) + 1 (6 x - 5) - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x - 5) - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.3.1.2.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{6 x^{2} x + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.3.1.2.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{6 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 6.3.1.2.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{6 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{6 x^{3} + x^{2} \cdot - 5 + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2.3

Sposta $- 5$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 \cdot x^{2} + 1 (6 x) + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2.4

Moltiplica $6 x$ per $1$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x + 1 \cdot - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2.5

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - (3 x^{2}) (2 x) - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.3.1.3.1

Sposta $x$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - (3 (x \cdot x^{2})) \cdot 2 - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 6.3.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - (3 (x^{1} x^{2})) \cdot 2 - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - (3 x^{1 + 2}) \cdot 2 - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.3.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - (3 x^{3}) \cdot 2 - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 3 x^{3} \cdot 2 - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.5

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} - (- 5 x) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.3.1.6.1

Sposta $x$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} - (- 5 (x \cdot x)) \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} - (- 5 x^{2}) \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.7

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} + 5 x^{2} \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.8

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} + 10 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.3.2

Combina i termini opposti in $6 x^{3} - 5 x^{2} + 6 x - 5 - 6 x^{3} + 10 x^{2}$ .

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Passaggio 6.3.2.1

Sottrai $6 x^{3}$ da $6 x^{3}$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 6 x - 5 + 0 + 10 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.3.2.2

Somma $- 5 x^{2} + 6 x - 5$ e $0$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 6 x - 5 + 10 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 6.3.3

Somma $- 5 x^{2}$ e $10 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} + 6 x - 5}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$