Calcolo Esempi

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- \sin (x) \sin (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 4.1.1.2

Moltiplica $- \sin (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 4.1.1.2.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 4.1.1.2.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 4.1.1.2.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 4.1.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 4.1.1.3

Moltiplica $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 4.1.1.3.1

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 4.1.1.3.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 4.1.1.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- \sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 4.1.1.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 4.1.2

Scomponi $- 1$ da $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $- 1$ da $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 4.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{- (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 4.1.5

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{- 1 \cdot 1}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{- 1}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 4.2.2

Converti da $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ a $\csc^{2} (x)$ .

$- \csc^{2} (x)$