Calcolo Esempi

$\frac{x - 3}{x^{3} + 3 x}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 1.1

Scomponi $x$ da $x^{3} + 3 x$ .

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{x - 3}{x \cdot x^{2} + 3 x}$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $x$ da $3 x$ .

$\frac{x - 3}{x \cdot x^{2} + x \cdot 3}$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x \cdot 3$ .

$\frac{x - 3}{x (x^{2} + 3)}$

Passaggio 1.2

Per ogni fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore è di 2° ordine, sono necessari $2$ termini nel numeratore. Il numero di termini richiesti nel numeratore è sempre uguale all'ordine del fattore nel denominatore.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $x (x^{2} + 3)$ .

$\frac{(x - 3) (x (x^{2} + 3))}{x (x^{2} + 3)} = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 3) (x (x^{2} + 3))}{x (x^{2} + 3)} = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x - 3) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 3$ .

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Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x - 3) (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.5.2

Dividi $x - 3$ per $1$ .

$x - 3 = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$x - 3 = \frac{A (x (x^{2} + 3))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.6.1.2

Dividi $A (x^{2} + 3)$ per $1$ .

$x - 3 = A (x^{2} + 3) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$x - 3 = A x^{2} + A \cdot 3 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.6.3

Sposta $3$ alla sinistra di $A$ .

$x - 3 = A x^{2} + 3 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.6.4

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 3$ .

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Passaggio 1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 3))}{x^{2} + 3}$

Passaggio 1.6.4.2

Dividi $(B x + C) (x)$ per $1$ .

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + (B x + C) (x)$

Passaggio 1.6.5

Applica la proprietà distributiva.

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + B x \cdot x + C x$

Passaggio 1.6.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.6.6.1

Sposta $x$ .

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + B (x \cdot x) + C x$

Passaggio 1.6.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x - 3 = A x^{2} + 3 A + B x^{2} + C x$

Passaggio 1.7

Sposta $3 A$ .

$x - 3 = A x^{2} + B x^{2} + C x + 3 A$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x^{2}$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = C$

Passaggio 2.3

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 3 = 3 A$

Passaggio 2.4

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = A + B$

$1 = C$

$- 3 = 3 A$

$0 = A + B$

$1 = C$

$- 3 = 3 A$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $C = 1$ .

$C = 1$

$0 = A + B$

$- 3 = 3 A$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $C$ con $1$ in ogni equazione.

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Passaggio 3.2.1

Riscrivi l'equazione come $3 A = - 3$ .

$3 A = - 3$

$C = 1$

$0 = A + B$

Passaggio 3.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 A = - 3$ e semplifica.

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Passaggio 3.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 A = - 3$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 A}{3} = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

Passaggio 3.2.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = \frac{- 3}{3}$

$C = 1$

$0 = A + B$

Passaggio 3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.3.1

Dividi $- 3$ per $3$ .

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = A + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = A + B$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $- 1$ in ogni equazione.

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Passaggio 3.3.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $0 = A + B$ con $- 1$ .

$0 = (- 1) + B$

$A = - 1$

$C = 1$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 1$

$0 = - 1 + B$

$A = - 1$

$C = 1$

Passaggio 3.4

Risolvi per $B$ in $0 = - 1 + B$ .

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Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $- 1 + B = 0$ .

$- 1 + B = 0$

$A = - 1$

$C = 1$

Passaggio 3.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B = 1$

$A = - 1$

$C = 1$

$B = 1$

$A = - 1$

$C = 1$

Passaggio 3.5

Risolvi il sistema di equazioni.

$B = 1 A = - 1 C = 1$

Passaggio 3.6

Elenca tutte le soluzioni.

$B = 1, A = - 1, C = 1$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 3}$ con i valori trovati per $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{1}{x} + \frac{1 x + 1}{x^{2} + 3}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Rimuovi le parentesi.

$\frac{- 1}{x} + \frac{(1) \cdot x + 1}{x^{2} + 3}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{- 1}{x} + \frac{x + 1}{x^{2} + 3}$