Calcolo Esempi

$\frac{3 x - 1}{(x - 3) (x + 6)}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x - 3}$

Passaggio 1.2

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 6}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x - 3) (x + 6)$ .

$\frac{(3 x - 1) (x - 3) (x + 6)}{(x - 3) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(3 x - 1) (x - 3) (x + 6)}{(x - 3) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(3 x - 1) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $x + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(3 x - 1) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.5.2

Dividi $3 x - 1$ per $1$ .

$3 x - 1 = \frac{(A) (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune di $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$3 x - 1 = \frac{A (x - 3) (x + 6)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.6.1.2

Dividi $(A) (x + 6)$ per $1$ .

$3 x - 1 = (A) (x + 6) + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 x - 1 = A x + A \cdot 6 + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.6.3

Sposta $6$ alla sinistra di $A$ .

$3 x - 1 = A x + 6 \cdot A + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.6.4

Elimina il fattore comune di $x + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$3 x - 1 = A x + 6 A + \frac{(B) (x - 3) (x + 6)}{x + 6}$

Passaggio 1.6.4.2

Dividi $(B) (x - 3)$ per $1$ .

$3 x - 1 = A x + 6 A + (B) (x - 3)$

Passaggio 1.6.5

Applica la proprietà distributiva.

$3 x - 1 = A x + 6 A + B x + B \cdot - 3$

Passaggio 1.6.6

Sposta $- 3$ alla sinistra di $B$ .

$3 x - 1 = A x + 6 A + B x - 3 B$

Passaggio 1.7

Sposta $6 A$ .

$3 x - 1 = A x + B x + 6 A - 3 B$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$3 = A + B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$- 1 = 6 A - 3 B$

Passaggio 2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$3 = A + B$

$- 1 = 6 A - 3 B$

$3 = A + B$

$- 1 = 6 A - 3 B$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $3 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 3$ .

$A + B = 3$

$- 1 = 6 A - 3 B$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 3 - B$

$- 1 = 6 A - 3 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 6 A - 3 B$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $3 - B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $- 1 = 6 A - 3 B$ con $3 - B$ .

$- 1 = 6 (3 - B) - 3 B$

$A = 3 - B$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $6 (3 - B) - 3 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 = 6 \cdot 3 + 6 (- B) - 3 B$

$A = 3 - B$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Moltiplica $6$ per $3$ .

$- 1 = 18 + 6 (- B) - 3 B$

$A = 3 - B$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$- 1 = 18 - 6 B - 3 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 18 - 6 B - 3 B$

$A = 3 - B$

Passaggio 3.2.2.1.2

Sottrai $3 B$ da $- 6 B$ .

$- 1 = 18 - 9 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 18 - 9 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 18 - 9 B$

$A = 3 - B$

$- 1 = 18 - 9 B$

$A = 3 - B$

Passaggio 3.3

Risolvi per $B$ in $- 1 = 18 - 9 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $18 - 9 B = - 1$ .

$18 - 9 B = - 1$

$A = 3 - B$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $18$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 9 B = - 1 - 18$

$A = 3 - B$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $18$ da $- 1$ .

$- 9 B = - 19$

$A = 3 - B$

$- 9 B = - 19$

$A = 3 - B$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $- 9$ ciascun termine in $- 9 B = - 19$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $- 9$ ciascun termine in $- 9 B = - 19$ .

$\frac{- 9 B}{- 9} = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 9 B}{- 9} = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{- 19}{- 9}$

$A = 3 - B$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$B = \frac{19}{9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{19}{9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{19}{9}$

$A = 3 - B$

$B = \frac{19}{9}$

$A = 3 - B$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $\frac{19}{9}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 3 - B$ con $\frac{19}{9}$ .

$A = 3 - (\frac{19}{9})$

$B = \frac{19}{9}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica $3 - (\frac{19}{9})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$A = 3 \cdot \frac{9}{9} - \frac{19}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

Passaggio 3.4.2.1.2

$3$ e $\frac{9}{9}$ .

$A = \frac{3 \cdot 9}{9} - \frac{19}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

Passaggio 3.4.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A = \frac{3 \cdot 9 - 19}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

Passaggio 3.4.2.1.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.4.1

Moltiplica $3$ per $9$ .

$A = \frac{27 - 19}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

Passaggio 3.4.2.1.4.2

Sottrai $19$ da $27$ .

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

$A = \frac{8}{9}$

$B = \frac{19}{9}$

Passaggio 3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = \frac{8}{9}, B = \frac{19}{9}$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 6}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{8}{9}}{x - 3} + \frac{\frac{19}{9}}{x + 6}$