Calcolo Esempi

$(0.1 t + 1) \ln (\sqrt{t})$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{t}$ come $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [(0.1 t + 1) \ln (t^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = 0.1 t + 1$ e $g (t) = \ln (t^{\frac{1}{2}})$ .

$(0.1 t + 1) \frac{d}{d t} [\ln (t^{\frac{1}{2}})] + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $t^{\frac{1}{2}}$ .

$(0.1 t + 1) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Passaggio 3.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$(0.1 t + 1) (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $t^{\frac{1}{2}}$ .

$(0.1 t + 1) (\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Passaggio 5

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Passaggio 6

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Passaggio 7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Passaggio 8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Passaggio 8.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Passaggio 9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Passaggio 10

$\frac{1}{2}$ e $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Passaggio 11

Moltiplica $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ per $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$(0.1 t + 1) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Passaggio 12

Sposta $t^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Passaggio 13

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $t^{\frac{1}{2}}$ per $t^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Sposta $t^{\frac{1}{2}}$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Passaggio 13.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Passaggio 13.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1 + 1}{2}}} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Passaggio 13.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t^{\frac{2}{2}}} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Passaggio 13.1.5

Dividi $2$ per $2$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t^{1}} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Passaggio 13.2

Semplifica $2 t^{1}$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [0.1 t + 1]$

Passaggio 14

Secondo la regola della somma, la derivata di $0.1 t + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [0.1 t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d t} [0.1 t] + \frac{d}{d t} [1])$

Passaggio 15

Poiché $0.1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $0.1 t$ rispetto a $t$ è $0.1 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) (0.1 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])$

Passaggio 16

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) (0.1 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1])$

Passaggio 17

Moltiplica $0.1$ per $1$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) (0.1 + \frac{d}{d t} [1])$

Passaggio 18

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) (0.1 + 0)$

Passaggio 19

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Somma $0.1$ e $0$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + \ln (t^{\frac{1}{2}}) \cdot 0.1$

Passaggio 19.2

Sposta $0.1$ alla sinistra di $\ln (t^{\frac{1}{2}})$ .

$(0.1 t + 1) \frac{1}{2 t} + 0.1 \cdot \ln (t^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 20

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Applica la proprietà distributiva.

$0.1 t \frac{1}{2 t} + 1 \frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 20.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1

$0.1$ e $\frac{1}{2 t}$ .

$t \frac{0.1}{2 t} + 1 \frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 20.2.2

$t$ e $\frac{0.1}{2 t}$ .

$\frac{t \cdot 0.1}{2 t} + 1 \frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 20.2.3

Sposta $0.1$ alla sinistra di $t$ .

$\frac{0.1 \cdot t}{2 t} + 1 \frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 20.2.4

Elimina il fattore comune di $t$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{0.1 t}{2 t} + 1 \frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 20.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{0.1}{2} + 1 \frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 20.2.5

Moltiplica $\frac{1}{2 t}$ per $1$ .

$\frac{0.1}{2} + \frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 20.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}}) + \frac{0.1}{2}$

Passaggio 20.4

Dividi $0.1$ per $2$ .

$\frac{1}{2 t} + 0.1 \ln (t^{\frac{1}{2}}) + 0.05$