Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{s + k e^{s}}$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{1}{s + k e^{s}}$ come ${(s + k e^{s})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d s} [{(s + k e^{s})}^{- 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d s} [f (g (s))]$ è $f' (g (s)) g' (s)$ dove $f (s) = s^{- 1}$ e $g (s) = s + k e^{s}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $s + k e^{s}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d s} [s + k e^{s}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d s} [s + k e^{s}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $s + k e^{s}$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} \frac{d}{d s} [s + k e^{s}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $s + k e^{s}$ rispetto a $s$ è $\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [k e^{s}]$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (\frac{d}{d s} [s] + \frac{d}{d s} [k e^{s}])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ è $n s^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (1 + \frac{d}{d s} [k e^{s}])$

Passaggio 3.3

Poiché $k$ è costante rispetto a $s$ , la derivata di $k e^{s}$ rispetto a $s$ è $k \frac{d}{d s} [e^{s}]$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (1 + k \frac{d}{d s} [e^{s}])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d s} [a^{s}]$ è $a^{s} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- {(s + k e^{s})}^{- 2} (1 + k e^{s})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}} (1 + k e^{s})$

Passaggio 5.2

Riordina i fattori di $- \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}} (1 + k e^{s})$ .

$- (1 + k e^{s}) \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$(- 1 \cdot 1 - (k e^{s})) \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Passaggio 5.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(- 1 - (k e^{s})) \frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Passaggio 5.5

Moltiplica $- 1 - k e^{s}$ per $\frac{1}{{(s + k e^{s})}^{2}}$ .

$\frac{- 1 - k e^{s}}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Passaggio 5.6

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - k e^{s}}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Passaggio 5.7

Scomponi $- 1$ da $- k e^{s}$ .

$\frac{- 1 (1) - (k e^{s})}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Passaggio 5.8

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (k e^{s})$ .

$\frac{- 1 (1 + k e^{s})}{{(s + k e^{s})}^{2}}$

Passaggio 5.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1 + k e^{s}}{{(s + k e^{s})}^{2}}$