Calcolo Esempi

$\frac{1 + \ln (t)}{1 - \ln (t)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = 1 + \ln (t)$ e $g (t) = 1 - \ln (t)$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 + \ln (t)] - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 - \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \ln (t)$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\ln (t)]$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\ln (t)]) - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 - \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Passaggio 2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) (0 + \frac{d}{d t} [\ln (t)]) - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 - \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Passaggio 2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [\ln (t)]$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{d}{d t} [\ln (t)] - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 - \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Passaggio 3

La derivata di $\ln (t)$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{t}$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [1 - \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Passaggio 4

Differenzia.

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Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \ln (t)$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \ln (t)]$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} - (1 + \ln (t)) (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- \ln (t)])}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Passaggio 4.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} - (1 + \ln (t)) (0 + \frac{d}{d t} [- \ln (t)])}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Passaggio 4.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [- \ln (t)]$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} - (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [- \ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Passaggio 4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- \ln (t)$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [\ln (t)]$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} - (1 + \ln (t)) (- \frac{d}{d t} [\ln (t)])}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Passaggio 4.5

Moltiplica.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} + 1 (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [\ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $1 + \ln (t)$ per $1$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} + (1 + \ln (t)) \frac{d}{d t} [\ln (t)]}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Passaggio 5

La derivata di $\ln (t)$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{t}$ .

$\frac{(1 - \ln (t)) \frac{1}{t} + (1 + \ln (t)) \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{1}{t} + (1 + \ln (t)) \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Passaggio 6.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.3.1

Combina i termini opposti in $1 \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t} + \ln (t) \frac{1}{t}$ .

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Passaggio 6.3.1.1

Somma $- \ln (t) \frac{1}{t}$ e $\ln (t) \frac{1}{t}$ .

$\frac{1 \frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t} + 0}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2

Somma $1 \frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t}$ e $0$ .

$\frac{1 \frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{t}$ per $1$ .

$\frac{\frac{1}{t} + 1 \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Passaggio 6.3.2.2

Moltiplica $\frac{1}{t}$ per $1$ .

$\frac{\frac{1}{t} + \frac{1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Passaggio 6.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{1 + 1}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Passaggio 6.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{2}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Passaggio 6.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 6.4.1

Riscrivi $\frac{\frac{2}{t}}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$ come un prodotto.

$\frac{2}{t} \cdot \frac{1}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$

Passaggio 6.4.2

Moltiplica $\frac{2}{t}$ per $\frac{1}{{(1 - \ln (t))}^{2}}$ .

$\frac{2}{t {(1 - \ln (t))}^{2}}$