Calcolo Esempi

$\frac{t^{2} - 1}{t^{2} + 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = t^{2} - 1$ e $g (t) = t^{2} + 1$ .

$\frac{(t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{2} - 1] - (t^{2} - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{2} - 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{(t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t^{2} - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(t^{2} + 1) (2 t + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t^{2} - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{(t^{2} + 1) (2 t + 0) - (t^{2} - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.4.1

Somma $2 t$ e $0$ .

$\frac{(t^{2} + 1) (2 t) - (t^{2} - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $t^{2} + 1$ .

$\frac{2 \cdot (t^{2} + 1) t - (t^{2} - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{2} + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{2 (t^{2} + 1) t - (t^{2} - 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 (t^{2} + 1) t - (t^{2} - 1) (2 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{2 (t^{2} + 1) t - (t^{2} - 1) (2 t + 0)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.8.1

Somma $2 t$ e $0$ .

$\frac{2 (t^{2} + 1) t - (t^{2} - 1) (2 t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 (t^{2} + 1) t - 2 (t^{2} - 1) t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 t^{2} + 2 \cdot 1) t - 2 (t^{2} - 1) t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 t^{2} t + 2 \cdot 1 t - 2 (t^{2} - 1) t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 t^{2} t + 2 \cdot 1 t + (- 2 t^{2} - 2 \cdot - 1) t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 t^{2} t + 2 \cdot 1 t - 2 t^{2} t - 2 \cdot - 1 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1

Combina i termini opposti in $2 t^{2} t + 2 \cdot 1 t - 2 t^{2} t - 2 \cdot - 1 t$ .

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Passaggio 3.5.1.1

Sottrai $2 t^{2} t$ da $2 t^{2} t$ .

$\frac{2 \cdot 1 t + 0 - 2 \cdot - 1 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.2

Somma $2 \cdot 1 t$ e $0$ .

$\frac{2 \cdot 1 t - 2 \cdot - 1 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.5.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 t - 2 \cdot - 1 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{2 t + 2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Somma $2 t$ e $2 t$ .

$\frac{4 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$