Calcolo Esempi

$f (x) = x^{8} \sqrt{5 - 3 x}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5 - 3 x}$ come ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{8}$ e $g (x) = {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{8} \frac{d}{d x} [{(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 5 - 3 x$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $5 - 3 x$ .

$x^{8} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{8} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 - 3 x$ .

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{8} (\frac{1}{2} {(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{8} (\frac{{(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 8.3

Sposta ${(5 - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{8} (\frac{1}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 8.4

$\frac{1}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{8}$ .

$\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 - 3 x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 10

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 11

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 3 x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 12

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (- 3 \frac{d}{d x} [x]) + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 13

Riduci le frazioni.

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Passaggio 13.1

$- 3$ e $\frac{x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 13.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 14

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 15

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 16

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 8$ .

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} (8 x^{7})$

Passaggio 17

Riordina.

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Passaggio 17.1

Sposta $8$ alla sinistra di ${(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} + 8 \cdot {(5 - 3 x)}^{\frac{1}{2}} x^{7}$

Passaggio 17.2

Sposta ${(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 18

Per scrivere $8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + 8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 19

$8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 x^{8}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 20

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 3 x^{8} + 8 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} (2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 21

Moltiplica $2$ per $8$ .

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22

Moltiplica ${(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 22.1

Sposta ${(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} ({(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 22.5

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{1}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 23

Semplifica $16 x^{7} {(- 3 x + 5)}^{1}$ .

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} (- 3 x + 5)}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24

Semplifica.

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Passaggio 24.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 3 x^{8} + 16 x^{7} (- 3 x) + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 24.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 24.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 3 x^{8} + 16 \cdot - 3 x^{7} x + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.2.1.2

Moltiplica $x^{7}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 24.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 3 x^{8} + 16 \cdot - 3 (x \cdot x^{7}) + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{7}$ .

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Passaggio 24.2.1.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 3 x^{8} + 16 \cdot - 3 (x^{1} x^{7}) + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.2.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 3 x^{8} + 16 \cdot - 3 x^{1 + 7} + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.2.1.2.3

Somma $1$ e $7$ .

$\frac{- 3 x^{8} + 16 \cdot - 3 x^{8} + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.2.1.3

Moltiplica $16$ per $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{8} - 48 x^{8} + 16 x^{7} \cdot 5}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.2.1.4

Moltiplica $5$ per $16$ .

$\frac{- 3 x^{8} - 48 x^{8} + 80 x^{7}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.2.2

Sottrai $48 x^{8}$ da $- 3 x^{8}$ .

$\frac{- 51 x^{8} + 80 x^{7}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.3

Scomponi $x^{7}$ da $- 51 x^{8} + 80 x^{7}$ .

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Passaggio 24.3.1

Scomponi $x^{7}$ da $- 51 x^{8}$ .

$\frac{x^{7} (- 51 x) + 80 x^{7}}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.3.2

Scomponi $x^{7}$ da $80 x^{7}$ .

$\frac{x^{7} (- 51 x) + x^{7} \cdot 80}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.3.3

Scomponi $x^{7}$ da $x^{7} (- 51 x) + x^{7} \cdot 80$ .

$\frac{x^{7} (- 51 x + 80)}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.4

Scomponi $- 1$ da $- 51 x$ .

$\frac{x^{7} (- (51 x) + 80)}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.5

Riscrivi $80$ come $- 1 (- 80)$ .

$\frac{x^{7} (- (51 x) - 1 (- 80))}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.6

Scomponi $- 1$ da $- (51 x) - 1 (- 80)$ .

$\frac{x^{7} (- (51 x - 80))}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.7

Riscrivi $- (51 x - 80)$ come $- 1 (51 x - 80)$ .

$\frac{x^{7} (- 1 (51 x - 80))}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 24.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{7} (51 x - 80)}{2 {(- 3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$