Calcolo Esempi

f (x) = sin (x) csc (x)

$f (x) = \sin (x) \csc (x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che

\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è

f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove

f (x) = sin (x)

$f (x) = \sin (x)$ e

g (x) = csc (x)

$g (x) = \csc (x)$ .

sin (x) \frac{d}{d x} [csc (x)] + csc (x) \frac{d}{d x} [sin (x)]

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 2

La derivata di

csc (x)

$\csc (x)$ rispetto a

x

$x$ è

- csc (x) cot (x)

$- \csc (x) \cot (x)$ .

sin (x) (- csc (x) cot (x)) + csc (x) \frac{d}{d x} [sin (x)]

$\sin (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 3

La derivata di

sin (x)

$\sin (x)$ rispetto a

x

$x$ è

cos (x)

$\cos (x)$ .

sin (x) (- csc (x) cot (x)) + csc (x) cos (x)

$\sin (x) (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \cos (x)$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riordina i termini.

- cot (x) csc (x) sin (x) + cos (x) csc (x)

$- \cot (x) \csc (x) \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Riscrivi

cot (x)

$\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

- \frac{cos (x)}{sin (x)} csc (x) sin (x) + cos (x) csc (x)

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \csc (x) \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Passaggio 4.2.2

Riscrivi

csc (x)

$\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

- \frac{cos (x)}{sin (x)} \cdot \frac{1}{sin (x)} sin (x) + cos (x) csc (x)

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica

- \frac{cos (x)}{sin (x)} \cdot \frac{1}{sin (x)}

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Moltiplica

\frac{1}{sin (x)}

$\frac{1}{\sin (x)}$ per

\frac{cos (x)}{sin (x)}

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

- \frac{cos (x)}{sin (x) sin (x)} sin (x) + cos (x) csc (x)

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Passaggio 4.2.3.2

Eleva

sin (x)

$\sin (x)$ alla potenza di

1

$1$ .

- \frac{cos (x)}{{sin}^{1} (x) sin (x)} sin (x) + cos (x) csc (x)

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Passaggio 4.2.3.3

Eleva

sin (x)

$\sin (x)$ alla potenza di

1

$1$ .

- \frac{cos (x)}{{sin}^{1} (x) {sin}^{1} (x)} sin (x) + cos (x) csc (x)

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Passaggio 4.2.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

- \frac{cos (x)}{{sin (x)}^{1 + 1}} sin (x) + cos (x) csc (x)

$- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Passaggio 4.2.3.5

Somma

1

$1$ e

1

$1$ .

- \frac{cos (x)}{{sin}^{2} (x)} sin (x) + cos (x) csc (x)

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

- \frac{cos (x)}{{sin}^{2} (x)} sin (x) + cos (x) csc (x)

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Passaggio 4.2.4

Elimina il fattore comune di

$\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Sposta il negativo all'inizio di

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ nel numeratore.

$\frac{- \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Passaggio 4.2.4.2

Scomponi

$\sin (x)$ da

$\sin^{2} (x)$ .

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Passaggio 4.2.4.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \csc (x)$

Passaggio 4.2.4.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \csc (x)$

Passaggio 4.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \csc (x)$

Passaggio 4.2.6

Riscrivi

$\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 4.2.7

$\cos (x)$ e

$\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 4.3

Somma

$- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ e

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

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