Calcolo Esempi

$s (t) = \frac{70 t^{2}}{t^{2} + 150}$

Passaggio 1

Poiché $70$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $\frac{70 t^{2}}{t^{2} + 150}$ rispetto a $t$ è $70 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{t^{2} + 150}]$ .

$70 \frac{d}{d t} [\frac{t^{2}}{t^{2} + 150}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ è $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = t^{2} + 150$ .

$70 \frac{(t^{2} + 150) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 150]}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$70 \frac{(t^{2} + 150) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 150]}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $t^{2} + 150$ .

$70 \frac{2 \cdot (t^{2} + 150) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 150]}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $t^{2} + 150$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [150]$ .

$70 \frac{2 (t^{2} + 150) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [150])}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$70 \frac{2 (t^{2} + 150) t - t^{2} (2 t + \frac{d}{d t} [150])}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Poiché $150$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $150$ rispetto a $t$ è $0$ .

$70 \frac{2 (t^{2} + 150) t - t^{2} (2 t + 0)}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.6.1

Somma $2 t$ e $0$ .

$70 \frac{2 (t^{2} + 150) t - t^{2} (2 t)}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$70 \frac{2 (t^{2} + 150) t - 2 t^{2} t}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Passaggio 4

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$70 \frac{2 (t^{2} + 150) t - 2 (t^{1} t^{2})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Passaggio 5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$70 \frac{2 (t^{2} + 150) t - 2 t^{1 + 2}}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Passaggio 6

Somma $1$ e $2$ .

$70 \frac{2 (t^{2} + 150) t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Passaggio 7

$70$ e $\frac{2 (t^{2} + 150) t - 2 t^{3}}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$ .

$\frac{70 (2 (t^{2} + 150) t - 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{70 ((2 t^{2} + 2 \cdot 150) t - 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Passaggio 8.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{70 (2 t^{2} t + 2 \cdot 150 t - 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Passaggio 8.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{70 (2 t^{2} t) + 70 (2 \cdot 150 t) + 70 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Passaggio 8.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.4.1.1

Moltiplica $t^{2}$ per $t$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.4.1.1.1

Sposta $t$ .

$\frac{70 (2 (t \cdot t^{2})) + 70 (2 \cdot 150 t) + 70 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Passaggio 8.4.1.1.2

Moltiplica $t$ per $t^{2}$ .

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Passaggio 8.4.1.1.2.1

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{70 (2 (t^{1} t^{2})) + 70 (2 \cdot 150 t) + 70 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Passaggio 8.4.1.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{70 (2 t^{1 + 2}) + 70 (2 \cdot 150 t) + 70 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Passaggio 8.4.1.1.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{70 (2 t^{3}) + 70 (2 \cdot 150 t) + 70 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Passaggio 8.4.1.2

Moltiplica $2$ per $70$ .

$\frac{140 t^{3} + 70 (2 \cdot 150 t) + 70 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Passaggio 8.4.1.3

Moltiplica $2$ per $150$ .

$\frac{140 t^{3} + 70 (300 t) + 70 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Passaggio 8.4.1.4

Moltiplica $300$ per $70$ .

$\frac{140 t^{3} + 21000 t + 70 (- 2 t^{3})}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Passaggio 8.4.1.5

Moltiplica $- 2$ per $70$ .

$\frac{140 t^{3} + 21000 t - 140 t^{3}}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Passaggio 8.4.2

Combina i termini opposti in $140 t^{3} + 21000 t - 140 t^{3}$ .

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Passaggio 8.4.2.1

Sottrai $140 t^{3}$ da $140 t^{3}$ .

$\frac{21000 t + 0}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$

Passaggio 8.4.2.2

Somma $21000 t$ e $0$ .

$\frac{21000 t}{{(t^{2} + 150)}^{2}}$