Calcolo Esempi

$f (x) = x^{9} \ln (4 x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{9}$ e $g (x) = \ln (4 x)$ .

$x^{9} \frac{d}{d x} [\ln (4 x)] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x$ .

$x^{9} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$x^{9} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x$ .

$x^{9} (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

$\frac{1}{4 x}$ e $x^{9}$ .

$\frac{x^{9}}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $x^{9}$ e $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{9}$ .

$\frac{x \cdot x^{8}}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Passaggio 3.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $x$ da $4 x$ .

$\frac{x \cdot x^{8}}{x \cdot 4} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot x^{8}}{x \cdot 4} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{8}}{4} \frac{d}{d x} [4 x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Passaggio 3.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{8}}{4} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Passaggio 3.4

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.4.1

$4$ e $\frac{x^{8}}{4}$ .

$\frac{4 x^{8}}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Passaggio 3.4.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{8}}{4} \frac{d}{d x} [x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Passaggio 3.4.2.2

Dividi $x^{8}$ per $1$ .

$x^{8} \frac{d}{d x} [x] + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{8} \cdot 1 + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Passaggio 3.6

Moltiplica $x^{8}$ per $1$ .

$x^{8} + \ln (4 x) \frac{d}{d x} [x^{9}]$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 9$ .

$x^{8} + \ln (4 x) (9 x^{8})$

Passaggio 3.8

Riordina i termini.

$x^{8} + 9 x^{8} \ln (4 x)$