Calcolo Esempi

$f (x) = x^{8} {(x - 1)}^{7}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{8}$ e $g (x) = {(x - 1)}^{7}$ .

$x^{8} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{7}] + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$x^{8} (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 7$ .

$x^{8} (7 u^{6} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \cdot 1) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $7$ per $1$ .

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 8$ .

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} (8 x^{7})$

Passaggio 3.6

Sposta $8$ alla sinistra di ${(x - 1)}^{7}$ .

$x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 \cdot {(x - 1)}^{7} x^{7}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Scomponi $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ da $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ .

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Passaggio 4.1.1

Scomponi $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ da $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6})$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$

Passaggio 4.1.2

Scomponi $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ da $8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ da $x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7) + 8 (x - 1))$

Passaggio 4.2

Sposta $7$ alla sinistra di $x$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$