Calcolo Esempi

$e^{x} - e^{y} = x - y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (e^{x} - e^{y}) = \frac{d}{d x} (x - y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{x} - e^{y}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{y}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- e^{y}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{y}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{y}]$ .

$e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$e^{x} - (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$e^{x} - e^{y} y'$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$- e^{y} y' + e^{x}$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$1 - y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- e^{y} y' + e^{x} = 1 - y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riordina i fattori in $- e^{y} y' + e^{x}$ .

$- y' e^{y} + e^{x} = 1 - y'$

Passaggio 5.2

Somma $y'$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- y' e^{y} + e^{x} + y' = 1$

Passaggio 5.3

Sottrai $e^{x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y' e^{y} + y' = 1 - e^{x}$

Passaggio 5.4

Scomponi $y'$ da $- y' e^{y} + y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $y'$ da $- y' e^{y}$ .

$y' (- 1 e^{y}) + y' = 1 - e^{x}$

Passaggio 5.4.2

Eleva $y'$ alla potenza di $1$ .

$y' (- 1 e^{y}) + y' = 1 - e^{x}$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $y'$ da ${y'}^{1}$ .

$y' (- 1 e^{y}) + y' \cdot 1 = 1 - e^{x}$

Passaggio 5.4.4

Scomponi $y'$ da $y' (- 1 e^{y}) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 1 e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$

Passaggio 5.5

Riscrivi $- 1 e^{y}$ come $- e^{y}$ .

$y' (- e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$

Passaggio 5.6

Dividi per $- e^{y} + 1$ ciascun termine in $y' (- e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Dividi per $- e^{y} + 1$ ciascun termine in $y' (- e^{y} + 1) = 1 - e^{x}$ .

$\frac{y' (- e^{y} + 1)}{- e^{y} + 1} = \frac{1}{- e^{y} + 1} + \frac{- e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Passaggio 5.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Elimina il fattore comune di $- e^{y} + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- e^{y} + 1)}{- e^{y} + 1} = \frac{1}{- e^{y} + 1} + \frac{- e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Passaggio 5.6.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{1}{- e^{y} + 1} + \frac{- e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Passaggio 5.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = \frac{1}{- e^{y} + 1} - \frac{e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Passaggio 5.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- e^{y} + 1}$

Passaggio 5.6.3.3

Scomponi $- 1$ da $- e^{y}$ .

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- (e^{y}) + 1}$

Passaggio 5.6.3.4

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- (e^{y}) - 1 (- 1)}$

Passaggio 5.6.3.5

Scomponi $- 1$ da $- (e^{y}) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- (e^{y} - 1)}$

Passaggio 5.6.3.6

Riscrivi i negativi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.6.1

Riscrivi $- (e^{y} - 1)$ come $- 1 (e^{y} - 1)$ .

$y' = \frac{1 - e^{x}}{- 1 (e^{y} - 1)}$

Passaggio 5.6.3.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{1 - e^{x}}{e^{y} - 1}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1 - e^{x}}{e^{y} - 1}$