Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{4} (2 x^{2} - 1)$

Passaggio 1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4} (2 x^{2} - 1)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4} (2 x^{2} - 1)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4} (2 x^{2} - 1)]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 2 x^{2} - 1$ .

$3 (x^{4} \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 1] + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 (x^{4} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (x^{4} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (x^{4} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$3 (x^{4} (4 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 (x^{4} (4 x + 0) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 3.6

Somma $4 x$ e $0$ .

$3 (x^{4} (4 x) + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $x$ .

$3 (x \cdot x^{4} \cdot 4 + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

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Passaggio 4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$3 (x^{1} x^{4} \cdot 4 + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$3 (x^{1 + 4} \cdot 4 + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 4.3

Somma $1$ e $4$ .

$3 (x^{5} \cdot 4 + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 5

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{5}$ .

$3 (4 \cdot x^{5} + (2 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$3 (4 x^{5} + (2 x^{2} - 1) (4 x^{3}))$

Passaggio 7

Sposta $4$ alla sinistra di $2 x^{2} - 1$ .

$3 (4 x^{5} + 4 \cdot (2 x^{2} - 1) x^{3})$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (4 x^{5} + (4 (2 x^{2}) + 4 \cdot - 1) x^{3})$

Passaggio 8.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 (4 x^{5} + 4 (2 x^{2}) x^{3} + 4 \cdot - 1 x^{3})$

Passaggio 8.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 (4 x^{5}) + 3 (4 (2 x^{2}) x^{3}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

Passaggio 8.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 8.4.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$12 x^{5} + 3 (4 (2 x^{2}) x^{3}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

Passaggio 8.4.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$12 x^{5} + 3 (8 x^{2} x^{3}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

Passaggio 8.4.3

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.4.3.1

Sposta $x^{3}$ .

$12 x^{5} + 3 (8 (x^{3} x^{2})) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

Passaggio 8.4.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$12 x^{5} + 3 (8 x^{3 + 2}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

Passaggio 8.4.3.3

Somma $3$ e $2$ .

$12 x^{5} + 3 (8 x^{5}) + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

Passaggio 8.4.4

Moltiplica $8$ per $3$ .

$12 x^{5} + 24 x^{5} + 3 (4 \cdot - 1 x^{3})$

Passaggio 8.4.5

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$12 x^{5} + 24 x^{5} + 3 (- 4 x^{3})$

Passaggio 8.4.6

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$12 x^{5} + 24 x^{5} - 12 x^{3}$

Passaggio 8.4.7

Somma $12 x^{5}$ e $24 x^{5}$ .

$36 x^{5} - 12 x^{3}$