Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} - 25}{x + 5}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 25$ e $g (x) = x + 5$ .

$\frac{(x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25] - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 25$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{(x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 25]) - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $- 25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 25$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x + 5) (2 x + 0) - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x + 5) (2 x) - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x + 5$ .

$\frac{2 \cdot (x + 5) x - (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{2 (x + 5) x - (x^{2} - 25) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 5) x - (x^{2} - 25) (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x + 5) x - (x^{2} - 25) (1 + 0)}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x + 5) x - (x^{2} - 25) \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 2.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 (x + 5) x - (x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 5) x - (x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 5 x - (x^{2} - 25)}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 5 x - x^{2} - - 25}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot 5 x - x^{2} - - 25}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 5 x - x^{2} - - 25}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$\frac{2 x^{2} + 10 x - x^{2} - - 25}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.4.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 25$ .

$\frac{2 x^{2} + 10 x - x^{2} + 25}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 25}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 3.5.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 10 x + 5^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Passaggio 3.5.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.5.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 5$ .

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di ${(x + 5)}^{2}$ .

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Passaggio 3.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Riscrivi l'espressione.

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