Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} - 7 x - 8}{x + 1}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 7 x - 8$ e $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x - 8] - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 7 x - 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7 + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7 + 0) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Somma $2 x - 7$ e $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.11.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - (x^{2} - 7 x - 8)}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x + 1) (2 x - 7) - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Espandi $(x + 1) (2 x - 7)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x - 7) + 1 (2 x - 7) - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 7 + 1 (2 x - 7) - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 7 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 7 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 7 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 7 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.3

Sposta $- 7$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 7 \cdot x + 1 (2 x) + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.4

Moltiplica $2 x$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 2 x + 1 \cdot - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.1.5

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 2 x - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.2

Somma $- 7 x$ e $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x - 7 - x^{2} - (- 7 x) - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $- 7$ per $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x - 7 - x^{2} + 7 x - - 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x - 7 - x^{2} + 7 x + 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 5 x - 7 + 7 x + 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Somma $- 5 x$ e $7 x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 7 + 8}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Somma $- 7$ e $8$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.3.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{2}$ .

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Passaggio 3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1$