Calcolo Esempi

$f (x) = (6 x + 5) (x^{3} - 2)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 6 x + 5$ e $g (x) = x^{3} - 2$ .

$(6 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2] + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(6 x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$(6 x + 5) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Passaggio 2.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(6 x + 5) (3 x^{2} + 0) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.4.1

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

$(6 x + 5) (3 x^{2}) + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Passaggio 2.4.2

Sposta $3$ alla sinistra di $6 x + 5$ .

$3 \cdot (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [6 x + 5]$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 2.6

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 2.8

Moltiplica $6$ per $1$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 + \frac{d}{d x} [5])$

Passaggio 2.9

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) (6 + 0)$

Passaggio 2.10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.10.1

Somma $6$ e $0$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + (x^{3} - 2) \cdot 6$

Passaggio 2.10.2

Sposta $6$ alla sinistra di $x^{3} - 2$ .

$3 (6 x + 5) x^{2} + 6 \cdot (x^{3} - 2)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$(3 (6 x) + 3 \cdot 5) x^{2} + 6 (x^{3} - 2)$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$3 (6 x) x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 (x^{3} - 2)$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$3 (6 x) x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Passaggio 3.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.4.1

Moltiplica $6$ per $3$ .

$18 x \cdot x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.4.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$18 (x^{2} x) + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Passaggio 3.4.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 3.4.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$18 (x^{2} x^{1}) + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Passaggio 3.4.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$18 x^{2 + 1} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Passaggio 3.4.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$18 x^{3} + 3 \cdot 5 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $3$ per $5$ .

$18 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x^{3} + 6 \cdot - 2$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $6$ per $- 2$ .

$18 x^{3} + 15 x^{2} + 6 x^{3} - 12$

Passaggio 3.4.5

Somma $18 x^{3}$ e $6 x^{3}$ .

$24 x^{3} + 15 x^{2} - 12$