Calcolo Esempi

$f (t) = t \sqrt{16 - t^{2}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{16 - t^{2}}$ come ${(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [t {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ è $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ dove $f (t) = t$ e $g (t) = {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$t \frac{d}{d t} [{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = 16 - t^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $16 - t^{2}$ .

$t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $16 - t^{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$t (\frac{1}{2} {(16 - t^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$t (\frac{1}{2} {(16 - t^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$t (\frac{1}{2} {(16 - t^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 8

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$t (\frac{1}{2} {(16 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(16 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$t (\frac{{(16 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 8.3

Sposta ${(16 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t (\frac{1}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 8.4

$\frac{1}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $t$ .

$\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [16 - t^{2}] + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 9

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 - t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [16] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [16] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 10

Poiché $16$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $16$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 11

Somma $0$ e $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- t^{2}] + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- t^{2}$ rispetto a $t$ è $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d t} [t^{2}]) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 t)) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 14

Riduci le frazioni.

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Passaggio 14.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t) + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 14.2

$- 2$ e $\frac{t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} t + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 14.3

$\frac{- 2 t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $t$ .

$\frac{- 2 t \cdot t}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 15

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (t^{1} t)}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 16

Eleva $t$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 2 (t^{1} t^{1})}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 17

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 2 t^{1 + 1}}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 18

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 2 t^{2}}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 19

Scomponi $2$ da $- 2 t^{2}$ .

$\frac{2 (- t^{2})}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 20

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 20.1

Scomponi $2$ da $2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- t^{2})}{2 ({(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 20.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- t^{2})}{2 {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 20.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- t^{2}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{t^{2}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 22

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \frac{t^{2}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Passaggio 23

Moltiplica ${(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$- \frac{t^{2}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 24

Per scrivere ${(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t^{2}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 25

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- t^{2} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 26

Moltiplica ${(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per ${(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 26.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- t^{2} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 26.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- t^{2} + {(16 - t^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 26.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- t^{2} + {(16 - t^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 26.4

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{- t^{2} + {(16 - t^{2})}^{1}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 27

Semplifica ${(16 - t^{2})}^{1}$ .

$\frac{- t^{2} + 16 - t^{2}}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 28

Sottrai $t^{2}$ da $- t^{2}$ .

$\frac{- 2 t^{2} + 16}{{(16 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 29

Riordina i termini.

$\frac{- 2 t^{2} + 16}{{(- t^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$