Calcolo Esempi

$x^{2} \arctan (2 x)$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \arctan (2 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\arctan (2 x)] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + {(2 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 (x)$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + 2^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x^{2} (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.2.2

$\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{1 + 4 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.4

$2$ e $\frac{x^{2}}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}} \cdot 1 + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.6

Moltiplica $\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}}$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (2 x)$

Passaggio 4

Per scrivere $\arctan (2 x) (2 x)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + 4 x^{2}}{1 + 4 x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{1 + 4 x^{2}} + \frac{\arctan (2 x) (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 x^{2} + \arctan (2 x) (2 x) (1 + 4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{2} + \arctan (2 x) (2 x) \cdot 1 + \arctan (2 x) (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x \cdot 1 + \arctan (2 x) (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + \arctan (2 x) (2 x) (4 x^{2})}{1 + 4 x^{2}}$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.2.1.3.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + \arctan (2 x) (2 (x^{2} x)) \cdot 4}{1 + 4 x^{2}}$

Passaggio 6.2.1.3.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 6.2.1.3.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + \arctan (2 x) (2 (x^{2} x^{1})) \cdot 4}{1 + 4 x^{2}}$

Passaggio 6.2.1.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + \arctan (2 x) (2 x^{2 + 1}) \cdot 4}{1 + 4 x^{2}}$

Passaggio 6.2.1.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + \arctan (2 x) (2 x^{3}) \cdot 4}{1 + 4 x^{2}}$

Passaggio 6.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + 2 \arctan (2 x) x^{3} \cdot 4}{1 + 4 x^{2}}$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + 8 \arctan (2 x) x^{3}}{1 + 4 x^{2}}$

Passaggio 6.2.2

Riordina i fattori in $2 x^{2} + 2 \arctan (2 x) x + 8 \arctan (2 x) x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \arctan (2 x) + 8 x^{3} \arctan (2 x)}{1 + 4 x^{2}}$

Passaggio 6.3

Riordina i termini.

$\frac{2 x^{2} + 2 x \arctan (2 x) + 8 x^{3} \arctan (2 x)}{4 x^{2} + 1}$