Calcolo Esempi

$\frac{x - 2}{x^{2} + 4 x - 12}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - 2$ e $g (x) = x^{2} + 4 x - 12$ .

$\frac{(x^{2} + 4 x - 12) \frac{d}{d x} [x - 2] - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{(x^{2} + 4 x - 12) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 4 x - 12) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 2.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x^{2} + 4 x - 12) (1 + 0) - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 2.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 4 x - 12) \cdot 1 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $x^{2} + 4 x - 12$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 12]}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 4 x - 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 2.7

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 2.9

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 12])}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 2.10

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + 4 + 0)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 2.11

Somma $2 x + 4$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - (x - 2) (2 x + 4)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 + (- x - - 2) (2 x + 4)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 + (- x + 2) (2 x + 4)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2

Espandi $(- x + 2) (2 x + 4)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - x (2 x + 4) + 2 (2 x + 4)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - x (2 x) - x \cdot 4 + 2 (2 x + 4)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - x (2 x) - x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 3.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.2.1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} - x \cdot 4 + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.1.4

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} - 4 x + 2 (2 x) + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.1.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} - 4 x + 4 x + 2 \cdot 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.1.6

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} - 4 x + 4 x + 8}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.2

Somma $- 4 x$ e $4 x$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} + 0 + 8}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 3.2.1.3.3

Somma $- 2 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 4 x - 12 - 2 x^{2} + 8}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $2 x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 12 + 8}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Somma $- 12$ e $8$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x - 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 3.3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ e la cui somma è $b = 4$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 (x) - 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi $4$ come $2$ più $2$ .

$\frac{- x^{2} + (2 + 2) x - 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- x^{2} + 2 x + 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(- x^{2} + 2 x) + 2 x - 4}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 3.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x (- x + 2) - 2 (- x + 2)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + 2$ .

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} + 4 x - 12)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.4.1

Scomponi $x^{2} + 4 x - 12$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.4.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 12$ e la cui somma è $4$ .

$- 2, 6$

Passaggio 3.4.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{((x - 2) (x + 6))}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Applica la regola del prodotto a $(x - 2) (x + 6)$ .

$\frac{(- x + 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{(- (x) + 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 2)) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.5.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.5.4

Riscrivi $- (x - 2)$ come $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{- 1 (x - 2) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.5.5

Eleva $x - 2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 1 ({(x - 2)}^{1} (x - 2))}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.5.6

Eleva $x - 2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 1 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1})}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.5.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{1 + 1}}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.5.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.6

Elimina il fattore comune di ${(x - 2)}^{2}$ .

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Passaggio 3.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1 {(x - 2)}^{2}}{{(x - 2)}^{2} {(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{{(x + 6)}^{2}}$

Passaggio 3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{{(x + 6)}^{2}}$