Calcolo Esempi

$\frac{x - 1}{e^{x}}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - 1$ e $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Passaggio 2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Passaggio 2.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{e^{x} (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 2.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{e^{x} \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\frac{e^{x} - (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} - (x - 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x} + (- x - - 1) e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x} - x e^{x} - - 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{e^{x} - x e^{x} + 1 e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$\frac{e^{x} - x e^{x} + e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.3.2

Somma $e^{x}$ e $e^{x}$ .

$\frac{- x e^{x} + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.4

Riordina i termini.

$\frac{- e^{x} x + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.5

Scomponi $e^{x}$ da $- e^{x} x + 2 e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Scomponi $e^{x}$ da $- e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (- x) + 2 e^{x}}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.5.2

Scomponi $e^{x}$ da $2 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 2}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.5.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{x} (- x + 2)}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.6

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ e $e^{2 x}$ .

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Passaggio 4.6.1

Scomponi $e^{2 x}$ da $e^{x} (- x + 2)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x}}$

Passaggio 4.6.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.6.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x + 2))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{e^{- x} (- x + 2)}{1}$

Passaggio 4.6.2.4

Dividi $e^{- x} (- x + 2)$ per $1$ .

$e^{- x} (- x + 2)$

Passaggio 4.7

Applica la proprietà distributiva.

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 2$

Passaggio 4.8

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- e^{- x} x + e^{- x} \cdot 2$

Passaggio 4.9

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$- e^{- x} x + 2 \cdot e^{- x}$

Passaggio 4.10

Riordina i fattori in $- e^{- x} x + 2 e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + 2 e^{- x}$